Test8 | Ước lượng khoảng
Cho cỡ mẫu n=100, giá trị trung bình là 82, độ lệch chuẩn là 20. Xây dựng khoảng tin cậy:
a. 95%.
b. 99%
a.
$\alpha=1-95%=5%$
$\alpha/2=0,025$
$z=1,96$
$\sigma=20, n=100$ nên sai số chuẩn là $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=2$.
Khoảng tin cậy là: $82\pm 1,96.2$
$82\pm 3,92$.
b.
$\alpha=1-99%=1%$
$\alpha/2=0,005$
$z=2,576$
Khoảng tin cậy là: $82\pm 2,576.2$
$82\pm 5,152$
Trung tâm Nghiên cứu Chất lượng Quốc gia tại Đại học Michigan cung cấp thước đo hàng quý về ý kiến của người tiêu dùng về sản phẩm và dịch vụ (Tạp chí Phố Wall, ngày 18 tháng 2 năm 2003). Một cuộc khảo sát với 10 nhà hàng trong nhóm Đồ ăn nhanh/Pizza cho thấy chỉ số hài lòng của khách hàng trung bình mẫu là 71. Dữ liệu trong quá khứ cho thấy độ lệch chuẩn tổng thể của chỉ số này tương đối ổn định là 5.
a. Giả định nào mà nhà nghiên cứu nên sẵn sàng đưa ra nếu mong muốn có một mức sai số nhất định?
b. Với độ tin cậy 95%, sai số là bao nhiêu?
c. Biên độ sai số là bao nhiêu nếu mong muốn độ tin cậy 99%?
a. Giả định mà nhà nghiên cứu nên sẵn sàng đưa ra nếu mong muốn có một mức sai số nhất định là dữ liệu gần như phân phối chuẩn.
b.
$\alpha=1-95%=5%$
$\alpha/2=0,025$
$z=1,96$
$\sigma=5, n=10$ nên sai số chuẩn là $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,58$.
Sai số là: 1,96.1,58=3,099.
c.
$\alpha=1-99%=1%$
$\alpha/2=0,005$
$z=2,576$
Sai số là: 1,58.2,576=4,07
Cho trung bình mẫu là 9312, độ lệch chuẩn mẫu là 4007, cỡ mẫu n=70. Độ tin cậy 95%. Xác định khoảng tin cậy.
$\alpha/2=0,025$
Bậc tự do: n-1=69
$t=1,995$
Khoảng tin cậy:
$9312\pm 1,995.\frac{4007}{\sqrt{70}}$
$9312\pm 955$
Số giờ bay trung bình của phi công tại Continental Airlines là 49 giờ mỗi tháng (The Wall Street Journal, 25/2/2003). Giả sử rằng giá trị trung bình này dựa trên thời gian bay thực tế của một mẫu gồm 100 phi công Lục địa và độ lệch chuẩn của mẫu là 8,5 giờ.
a. Với độ tin cậy 95%, sai số là bao nhiêu?
b. Ước tính khoảng tin cậy 95% của dân số thời gian bay trung bình của các phi công là bao nhiêu?
a.
$\alpha=1-95%=5%$
$\alpha/2=0,025$
Bậc tự do: n-1=100-1=99.
$t=1,984$
Sai số là: $t.\frac{s}{\sqrt{n}}=1,984.\frac{8,5}{\sqrt{100}}=1,6864$
b.
Khoảng tin cậy là: $49\pm 1,6864$.
Hannah Montana: The Movie của Disney khởi chiếu vào cuối tuần lễ Phục sinh tháng 4 năm 2009. Trong ba ngày cuối tuần, bộ phim đã trở thành bộ phim thu hút số một về doanh thu phòng vé (The Wall Street Journal, 13 tháng 4 năm 2009). Doanh thu bán vé bằng đô la cho một mẫu gồm 25 rạp chiếu như sau:
| 20200 | 10150 | 13000 | 11320 | 9700 |
| 8350 | 7300 | 14000 | 9940 | 11200 |
| 10750 | 6240 | 12700 | 7430 | 13500 |
| 13900 | 4200 | 6750 | 6700 | 9330 |
| 13185 | 9200 | 21400 | 11380 | 10800 |
a. Ước tính khoảng tin cậy 95% cho doanh thu bán vé trung bình trên mỗi rạp là bao nhiêu? Giải thích kết quả này.
b. Sử dụng giá vé xem phim là 7,16 USD một vé, hãy ước tính số lượng khách hàng trung bình ở mỗi rạp là bao nhiêu?
c. Phim đã được chiếu ở 3118 rạp. Hãy ước tính tổng số khách hàng đã xem Hannah Montana: The Movie và tổng doanh thu phòng vé bán ra trong ba ngày cuối tuần.
a.
Trung bình: 10905
Độ lệch chuẩn mẫu: 3962
$\alpha=1-95%=5%$
$\alpha/2=0,025$
Bậc tự do: n-1=25-1=24.
$t=2,064$
Sai số là: $t.\frac{s}{\sqrt{n}}=2,064.\frac{3962}{\sqrt{25}}=1635,5$.
Khoảng tin cậy là: $10905\pm 1635,5$.
b.
Khi giá vé xem phim là 7,16 USD một vé, số lượng khách hàng trung bình ở mỗi rạp là: $1523\pm 228$.
c.
Phim đã được chiếu ở 3118 rạp.
Tổng số khách hàng đã xem trong ba ngày cuối tuần là: $4748714\pm 710904$.
Tổng doanh thu phòng vé bán ra trong ba ngày cuối tuần là: $34001790\pm 5099489$.
Một cuộc khảo sát trực tuyến của ShareBuilder, một nhà cung cấp kế hoạch nghỉ hưu và Harris Interactive đã báo cáo rằng 60% chủ doanh nghiệp nữ không tự tin rằng họ đang tiết kiệm đủ tiền để nghỉ hưu (SmallBiz, Winter 2006). Giả sử chúng ta muốn thực hiện một nghiên cứu tiếp theo để xác định xem mỗi năm các nữ chủ doanh nghiệp tiết kiệm được bao nhiêu cho việc nghỉ hưu và muốn sử dụng 100 USD làm mức sai số mong muốn để ước tính khoảng giá trị trung bình của tổng thể. Sử dụng $1100 làm giá trị lập kế hoạch cho độ lệch chuẩn và đề xuất cỡ mẫu cho từng tình huống sau.
a. Khoảng tin cậy 90% là mong muốn cho lượng trung bình được tiết kiệm.
b. Khoảng tin cậy 95% là mong muốn cho lượng trung bình được tiết kiệm.
c. Khoảng tin cậy 99% là mong muốn cho số tiền trung bình được tiết kiệm.
a.
$\alpha/2=0,05$
$z_{\alpha /2}=1,645$
$\sigma=1100, E=100$
$n=\frac{(z_{\alpha /2})^2.\sigma^2}{E^2}=\frac{1,645^2.1100^2}{100^2}=327,4$
b.
$\alpha/2=0,025$
$z_{\alpha /2}=1,96$
$n=\frac{1,96^2.1100^2}{100^2}=464,8$
c.
$\alpha/2=0,005$
$z_{\alpha /2}=2,576$
$n=\frac{2,576^2.1100^2}{100^2}=802,9$
Trong quý đầu năm 2003, tỷ lệ giá/thu nhập (P/E) của các cổ phiếu niêm yết trên Sở giao dịch chứng khoán New York thường dao động từ 5 đến 60 (The Wall Street Journal, 7/3/2003). Giả sử rằng chúng ta muốn ước tính tỷ lệ P/E trung bình của dân số cho tất cả các cổ phiếu niêm yết trên sàn giao dịch. Có bao nhiêu cổ phiếu nên được đưa vào mẫu nếu chúng ta muốn sai số là 3? Sử dụng độ tin cậy 95%.
Phạm vi = 60-5=55
Lấy độ lệch chuẩn bằng: 55/4=13,75
$\alpha=1-95%=5%$
$\alpha/2=0,025$
$z_{\alpha /2}=1,96$
Cỡ mẫu: $n=\frac{1,96^2.13,75^2}{3^2}=80,7$
Theo số liệu thống kê trên CNBC, một con số đáng kinh ngạc là xe cơ giới không được bảo hiểm (CNBC, 23/2/2006). Kết quả mẫu, nhất quán với báo cáo của CNBC, cho thấy 46 trong số 200 xe không được bảo hiểm.
a. Ước tính điểm của tỷ lệ xe không được bảo hiểm là bao nhiêu?
b. Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ dân số.
a. Ước tính điểm của tỷ lệ xe không được bảo hiểm là: $\overline{p}=$46/200=0,23
b.
Độ tin cậy 95%
$\alpha/2=0,025$
$z_{\alpha /2}=1,96$
Khoảng ước lượng cho tỉ lệ:
$\overline{p}\pm z_{\alpha/2}.\sqrt{\frac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n}}$
$0,23\pm 1,96.\sqrt{\frac{0,23.(1-0,23)}{200}}$
$0,23\pm 0,058$
Một cuộc khảo sát của Phoenix Wealth Management/Harris Interactive với 1500 cá nhân có tài sản ròng từ 1 triệu đô la trở lên đã cung cấp nhiều số liệu thống kê về những người giàu có (BusinessWeek, 22 tháng 9 năm 2003). Khoảng thời gian ba năm trước đó thật tồi tệ đối với thị trường chứng khoán, điều này đã thúc đẩy một số câu hỏi được đặt ra.
a. Cuộc khảo sát báo cáo rằng 53% số người được hỏi đã mất từ 25% giá trị danh mục đầu tư trở lên trong ba năm qua. Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người giàu đã mất từ 25% giá trị danh mục đầu tư trở lên trong ba năm qua.
b. Cuộc khảo sát cho thấy 31% số người được hỏi cảm thấy họ phải tiết kiệm nhiều hơn khi nghỉ hưu để bù đắp cho những gì họ đã mất. Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ dân số.
c. Năm phần trăm số người được hỏi đã quyên góp từ thiện từ 25.000 USD trở lên trong năm trước. Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ những người đã quyên góp từ thiện 25.000 USD trở lên.
a.
$\overline{p}=0,53$
Độ tin cậy 95%
$\alpha/2=0,025$
$z_{\alpha /2}=1,96$
Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người giàu đã mất từ 25% giá trị danh mục đầu tư trở lên trong ba năm qua:
$\overline{p}\pm z_{\alpha/2}.\sqrt{\frac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n}}$
$0,53\pm 1,96.\sqrt{\frac{0,53.(1-0,53)}{1500}}$
$0,53\pm 0,025$
b.
$\overline{p}=0,31$
Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người được hỏi cảm thấy họ phải tiết kiệm nhiều hơn khi nghỉ hưu để bù đắp cho những gì họ đã mất:
$0,31\pm 1,96.\sqrt{\frac{0,31.(1-0,31)}{1500}}$
$0,31\pm 0,023$
c.
$\overline{p}=0,05$
Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người đã quyên góp từ thiện từ 25.000 USD trở lên trong năm trước:
$0,05\pm 1,96.\sqrt{\frac{0,05.(1-0,05)}{1500}}$
$0,05\pm 0,011$