Toán 11 | Cơ bản

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

$a^n = \underset{n \text{ số }a}{\underbrace{a.a…a}}$

$a$ là cơ số, $n$ là số mũ.

$a^0=1$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$0^0, 0^{-n}$ ko xác định.

Phương trình bậc lẻ (số mũ $n$ lẻ): $x^n=b$ có 1 nghiệm là $x=\sqrt[n]{b}$.

Phương trình bậc chẵn (số mũ $m$ chẵn): $x^m=d$

• nếu $d<0$ thì vô nghiệm
• nếu $d=0$ thì có 1 nghiệm $x=0$
• nếu $d>0$ thì có 2 nghiệm $x=\sqrt[m]{d}$ và $x=-\sqrt[m]{d}$

2. Căn bậc n

Cho $n$ là số nguyên dương.

Số $a$ là căn bậc $n$ của $b$ nếu $a^n=b$.

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

$\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}
a& \text{nếu }n\text{ lẻ }\\
|a|& \text{nếu }n\text{ chẵn }
\end{cases}$

$\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

4. Lũy thừa với số mũ thực

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho $a,b$ dương. Ta có:

Bài tập:

Test10 | Lũy thừa

1. Khái niệm logarit

Nếu $a^x=b$ thì $x=\log_a b$.

Có thể nói hàm loagarit (log) là hàm để tìm số mũ.

$\log_a a^y=y$

Vì $a^0=1$ nên $\log_a 1=0$

Vì $a^1=a$ nên $\log_a a=1$

Nếu $\log_a b=x$ thì $a^x=b$. Suy ra $a^{\log_a b}=a^x=b$

2. Tính logarit bằng máy tính

với $e\approx 2,718$

3. Tính chất của phép tính logarit

$\log_a (b.c)=\log_a b + \log_a c$

$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b – \log_a c$

$\log_a \frac{1}{x}=\log_a 1 – \log_a x = 0 – \log_a x = -\log_a x$

$\log_a b^x=x.\log_a b$ nếu $b>0$

$\log_a b^x=x.\log_a |b|$ nếu $b<0$

$\log_a \sqrt[n]{x}=\log_a \left ( x^{\frac{1}{n}} \right )=\frac{1}{n}.\log_a x$

4. Công thức đổi cơ số

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ với số $c$ dương và khác 1 tùy ý.

$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a}=\frac{1}{\log_b a}$

$\log_{(a^n)}x=\frac{1}{n}\log_a x$

Để ý:

1. khi $a>1$:
   • nếu $b>a$ thì $\log_a b=x>0$
   • nếu $b<a$ thì $\log_a b=x<0$
2. khi $1>a>0$:
   • nếu $b>a$ thì $\log_a b=x<0$
   • nếu $b<a$ thì $\log_a b=x>0$

Bài tập:

Test12 | Logarit

Hàm số mũ cơ số $a$:

$f(x)=a^x$ với $a$ dương, khác 1.

Đồ thị 1 số hàm mũ:

Bài tập:

Test13 | Hàm mũ

Hàm số logarit cơ số $a$:

$f(x)=\log_a x$ với $a$ dương, khác 1.

Đồ thị của 1 số hàm log:

Bài tập:

Test14 | Hàm logarit

Phương trình $a^x=b$ với $a$ dương khác 1:

• nếu $b>0$ thì $x=\log_a b$
• nếu $b\leq 0$ thì vô nghiệm

Bài tập:

Test15 | Phương trình mũ

Phương trình $\log_a x=b$ với $a$ dương khác 1 có nghiệm là $x=a^b$.

Bài tập:

Test16 | Phương trình logarit

Xét $a$ dương, khác 1

Dạng 1:

$a^x>b$

$a^x<b$

$a^x\geq b$

$a^x\leq b$

Vì $a^x$ luôn dương nên

1. khi $b\leq 0$:
   •  $a^x<b$ vô nghiệm
   •  $a^x\leq b$ vô nghiệm
   • $a^x>b$ có nghiệm $x\in R$ tùy ý
   • $a^x\geq b$ có nghiệm $x\in R$ tùy ý
2. khi $b>0$:
   • **nếu $a>1$:
     • $a^x<b$ có nghiệm $x<\log_a b$
     • $a^x\leq b$ có nghiệm $x\leq\log_a b$
     • $a^x>b$ có nghiệm $x>\log_a b$
     • $a^x\geq b$ có nghiệm $x\geq\log_a b$
   • **nếu $1>a>0$: dấu $>,<$ sẽ đảo chiều
     • $a^x<b$ có nghiệm $x>\log_a b$
     • $a^x\leq b$ có nghiệm $x\geq\log_a b$
     • $a^x>b$ có nghiệm $x<\log_a b$
     • $a^x\geq b$ có nghiệm $x\leq\log_a b$

Dạng 2:

$a^x>a^b$

• nếu $a>1$ thì $x>b$
• nếu $1>a>0$ thì $x<b$

Bài tập:

Test17 | Bất phương trình mũ

Xét $a$ dương, khác 1:

$\log_a x>b$

1. Nếu $a>1$: nghiệm là
   • $x>a^b$
2. Nếu $1>a>0$: dấu $>$ sẽ đảo chiều
   • $0<x<a^b$

Tương tự với các bất phương trình: $\log_a x<b, \log_a x\geq b, \log_a x\leq b$.

Bài tập:

Test18 | Bất phương trình logarit