Test5 | Phân phối xác suất rời rạc
Như một ví dụ về một biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất của nó, hãy xem xét việc bán ô tô tại hãng DiCarlo Motors ở Saratoga, New York. Trong 300 ngày hoạt động gần đây, dữ liệu bán hàng cho thấy có 54 ngày không bán được xe, 117 ngày bán được 1 chiếc xe, 72 ngày bán được 2 chiếc xe, 42 ngày có 3 chiếc xe được bán, 12 ngày có 4 chiếc xe được bán, và 3 ngày có 5 chiếc xe được bán. Giả sử chúng ta xem xét thí nghiệm chọn một ngày hoạt động tại DiCarlo Motors và xác định biến ngẫu nhiên quan tâm là x = số lượng xe được bán trong một ngày. Từ dữ liệu lịch sử, chúng ta biết x là một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4 hoặc 5. Trong ký hiệu hàm xác suất, f(0) cung cấp xác suất không bán được ô tô, f(1) cung cấp xác suất bán được 1 chiếc ô tô, và tiếp tục như vậy. Tính các f(x) còn lại.
| số xe bán được | số ngày |
| 0 | 54 |
| 1 | 117 |
| 2 | 72 |
| 3 | 42 |
| 4 | 12 |
| 5 | 3 |
Tổng số ngày = 300.
f(0) = 54/300 = 0,18
f(1) = 117/300 = 0,39
f(2) = 72/300 = 0,24
f(3) = 42/300 = 0,14
f(4) = 12/300 = 0,04
f(5) = 3/100 = 0,01
Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên x như sau
| x | f(x) |
| 20 | 0.2 |
| 25 | 0.15 |
| 30 | 0.25 |
| 35 | 0.4 |
a. Phân phối xác suất này có hợp lệ không? Giải thích.
b. Xác suất x 30 là bao nhiêu?
c. Xác suất để x nhỏ hơn hoặc bằng 25 là bao nhiêu?
d. Xác suất để x lớn hơn 30 là bao nhiêu?
a. Phân phối xác suất này hợp lệ vì đều không âm và có tổng bằng 1.
b. Xác suất x = 30 là: 0,25
c. Xác suất để x nhỏ hơn hoặc bằng 25 là: 0,15+0,2 = 0,35
d. Xác suất để x lớn hơn 30 là: 0,4
Dữ liệu sau đây được thu thập bằng cách đếm số phòng phẫu thuật đang được sử dụng tại Bệnh viện Đa khoa Tampa trong khoảng thời gian 20 ngày: Vào ba ngày chỉ có một phòng phẫu thuật được sử dụng, vào năm ngày có hai phòng phẫu thuật được sử dụng, vào tám ngày trong số đó có ba phòng được sử dụng, và vào bốn ngày tất cả bốn phòng phẫu thuật của bệnh viện đều được sử dụng.
a. Sử dụng phương pháp tần số tương đối để xây dựng phân bố xác suất cho số phòng phẫu thuật được sử dụng vào bất kỳ ngày nào.
b. Vẽ đồ thị phân bố xác suất.
| số phòng | số ngày |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 8 |
| 4 | 4 |
a. f(1)=3/20
f(2)=5/20
f(3)=8/20
f(4)=4/20
b.
Phân bố tần suất phần trăm của điểm hài lòng trong công việc đối với một mẫu giám đốc điều hành cấp cao và quản lý cấp trung của hệ thống thông tin (IS) như sau. Điểm số dao động từ mức thấp nhất là 1 (rất không hài lòng) đến mức cao nhất là 5 (rất hài lòng).
| mức độ hài lòng | giám đốc điều hành (%) | quản lý cấp trung (%) |
| 1 | 5 | 4 |
| 2 | 9 | 10 |
| 3 | 3 | 12 |
| 4 | 42 | 46 |
| 5 | 41 | 28 |
a. Phát triển phân phối xác suất cho điểm hài lòng trong công việc của một nhà điều hành cấp cao.
b. Phát triển phân phối xác suất cho điểm hài lòng trong công việc của người quản lý cấp trung.
c. Xác suất một giám đốc điều hành cấp cao sẽ báo cáo điểm hài lòng trong công việc là 4 hoặc 5 là bao nhiêu?
d. Xác suất một người quản lý cấp trung rất hài lòng là bao nhiêu?
a.
| mức độ hài lòng | giám đốc điều hành |
| 1 | 0.05 |
| 2 | 0.09 |
| 3 | 0.03 |
| 4 | 0.42 |
| 5 | 0.41 |
b.
| mức độ hài lòng | quản lý cấp trung |
| 1 | 0.04 |
| 2 | 0.1 |
| 3 | 0.12 |
| 4 | 0.46 |
| 5 | 0.28 |
c. Xác suất một giám đốc điều hành cấp cao sẽ báo cáo điểm hài lòng trong công việc là 4 hoặc 5 là: 0,42+0,41 = 0,83
d. Xác suất một người quản lý cấp trung rất hài lòng là: 0,28
Một nhà tâm lý học xác định rằng số buổi cần thiết để có được sự tin tưởng của một bệnh nhân mới là 1, 2 hoặc 3. Gọi x là một biến ngẫu nhiên biểu thị số buổi cần thiết để có được sự tin tưởng của bệnh nhân. Hàm xác suất sau đây đã được đề xuất: f(x) = x/6.
a. Hàm xác suất này có hợp lệ không? Giải thích.
b. Xác suất để có đúng 2 buổi điều trị để lấy được lòng tin của bệnh nhân là bao nhiêu?
c. Xác suất để phải mất ít nhất 2 buổi để lấy được lòng tin của bệnh nhân là bao nhiêu?
a.
1/6+2/6+3/6=1
Hàm xác suất này hợp lệ.
b. Xác suất để có đúng 2 buổi điều trị để lấy được lòng tin của bệnh nhân là: 2/6
c. Xác suất để phải mất ít nhất 2 buổi để lấy được lòng tin của bệnh nhân là: 2/6+3/6 = 5/6
Cho
| x | f(x) |
| 3 | 0.25 |
| 6 | 0.5 |
| 9 | 0.25 |
Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn.
| x | f(x) | xf(x) | (x-E)^2f(x) | |
| 3 | 0.25 | 0.75 | 6.89 | |
| 6 | 0.5 | 3 | 4.50 | |
| 9 | 0.25 | 2.25 | 3.52 | |
| E(x) | 6 | |||
| Phương sai | 14.91 | |||
| Độ lệch chuẩn | 3.86 | |||
Hiệp hội Bóng rổ Quốc gia (NBA) ghi lại nhiều số liệu thống kê khác nhau cho mỗi đội. Hai trong số những thống kê này là tỷ lệ ghi bàn của đội và tỷ lệ cú sút 3 điểm của đội. Trong một phần của mùa giải 2004, kỷ lục bắn súng của 29 đội ở NBA cho thấy xác suất ghi được hai điểm bằng cách thực hiện một quả ném trúng đích là 0,44, và xác suất ghi được ba điểm bằng cách thực hiện một cú sút ba điểm là 0,34 (trang web NBA, ngày 3 tháng 1 năm 2004).
a. Giá trị kỳ vọng của một cú sút hai điểm cho các đội này là bao nhiêu?
b. Giá trị kỳ vọng của một cú sút ba điểm đối với các đội này là bao nhiêu?
c. Nếu xác suất thực hiện cú sút hai điểm lớn hơn xác suất thực hiện cú sút ba điểm, tại sao huấn luyện viên lại cho phép một số cầu thủ thực hiện cú sút ba điểm nếu có cơ hội? Sử dụng giá trị kỳ vọng để giải thích câu trả lời của bạn.
Phân bổ xác suất cho các yêu cầu bồi thường thiệt hại do Công ty Bảo hiểm Ôtô Newton chi trả cho bảo hiểm va chạm như sau.
Thanh toán ($) Xác suất
0 ,85
500 0,04
1000 0,04
3000 0,03
5000 0,02
800 0,01
1000 0,01
a. Sử dụng khoản thanh toán va chạm dự kiến để xác định phí bảo hiểm va chạm có thể giúp công ty hòa vốn.
b. Công ty bảo hiểm tính phí bảo hiểm va chạm hàng năm là 520 USD.
Giá trị mong đợi của chính sách va chạm đối với người mua bảo hiểm là gì? (Gợi ý: Đó là khoản thanh toán dự kiến từ công ty trừ đi chi phí bảo hiểm.) Tại sao chủ hợp đồng mua hợp đồng bảo hiểm xung đột với giá trị kỳ vọng này?
Giá trị kỳ vọng của bồi thường va chạm = 0 * 0.85 + 500 * 0.04 + 1000 * 0.04 + 3000 * 0.03 + 5000 * 0.02 + 8000 * 0.01 + 10000 * 0.01 = 20 + 40 + 90 + 100 + 80 + 100 = 430
Vậy, để công ty hoàn vốn, phí bảo hiểm va chạm cần phải là $430.
b. Công ty bảo hiểm tính mức phí hàng năm là $520 cho bảo hiểm va chạm. Giá trị kỳ vọng của chính sách bảo hiểm va chạm đối với một chủ sở hữu chính sách là sự khác biệt giữa giá trị kỳ vọng của các khoản thanh toán từ công ty trừ đi chi phí bảo hiểm.
Giá trị kỳ vọng của chính sách bảo hiểm va chạm = Giá trị kỳ vọng của các khoản thanh toán từ công ty – Chi phí bảo hiểm = 430 – 520 = -90
Với giá trị kỳ vọng âm (-90), chủ sở hữu chính sách thực tế sẽ mất tiền so với việc không mua bảo hiểm va chạm. Tuy nhiên, chủ sở hữu chính sách vẫn mua bảo hiểm va chạm vì họ muốn bảo vệ tài sản của mình khỏi rủi ro và không muốn phải trả toàn bộ chi phí sửa chữa hoặc thay thế sau một tai nạn.
Nhu cầu về một sản phẩm của Carolina Industries thay đổi rất nhiều theo từng tháng. Phân bố xác suất trong bảng sau, dựa trên dữ liệu trong hai năm qua, cho thấy nhu cầu hàng tháng của công ty.
Nhu cầu | Xác suất
300 ,20
400 ,30
500 ,35
600 ,15
a. Nếu công ty đặt hàng hàng tháng dựa trên giá trị kỳ vọng của nhu cầu hàng tháng thì số lượng đặt hàng hàng tháng của Carolina đối với sản phẩm này là bao nhiêu?
b. Giả sử rằng mỗi đơn vị được yêu cầu tạo ra doanh thu là 70 USD và mỗi đơn vị được đặt hàng có giá 50 USD. Công ty sẽ lãi hoặc lỗ bao nhiêu trong một tháng nếu đặt hàng dựa trên câu trả lời của bạn ở phần (a) và nhu cầu thực tế về mặt hàng đó là 300 đơn vị?
a.
Kỳ vọng sốsản phẩm trong 1 tháng: 300.0,2 + 400.0,3 + 500.0,35 600.0,15 = 445
b.
Dựa trên câu trả lời ở phần (a) thì chi phí sẽ là: 445.50 = 22250
Doanh thu khi bán 300 sản phẩm: 300.70 = 21000
21000 – 22250 = -1250
Vậy công ty lỗ: 1250USD
Công ty Máy tính J. R. Ryland đang xem xét mở rộng nhà máy để có thể bắt đầu sản xuất một sản phẩm máy tính mới. Chủ tịch công ty phải xác định xem nên thực hiện việc mở rộng thành một dự án quy mô vừa hay lớn. Nhu cầu đối với sản phẩm mới không chắc chắn, vì mục đích lập kế hoạch có thể là nhu cầu thấp, nhu cầu trung bình hoặc nhu cầu cao. Ước tính xác suất cho nhu cầu lần lượt là 0,20, 0,50 và 0,30. Đặt x và y biểu thị lợi nhuận hàng năm tính bằng nghìn đô la, các nhà hoạch định của công ty đã phát triển các dự báo lợi nhuận sau đây cho các dự án mở rộng quy mô vừa và lớn.
| mở rộng trung binh | mở rộng lớn | ||||
| x | f(x) | y | f(y) | ||
| thấp | 50 | 0.2 | 0 | 0.2 | |
| nhu cầu | trung bình | 150 | 0.5 | 100 | 0.5 |
| cao | 200 | 0.3 | 300 | 0.3 |
a. Tính giá trị kỳ vọng của lợi nhuận gắn liền với hai phương án mở rộng. Quyết định nào được ưu tiên hơn cho mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận dự kiến?
b. Tính phương sai của lợi nhuận liên quan đến hai phương án mở rộng. Quyết định nào được ưu tiên hơn cho mục tiêu giảm thiểu rủi ro hoặc sự không chắc chắn?
a. Tính giá trị kỳ vọng của lợi nhuận gắn liền với hai phương án mở rộng.
Kỳ vọng lợi nhuận của phương án mở rộng:
- trung bình: 50.0,2+150.0,5+200.0,3 = 145
- lớn: 0.0,2+100.0,5+300.0,3 = 140
Quyết định được ưu tiên hơn cho mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận dự kiến là: mở rộng trung bình.
b.
Trung bình: (50+150+200)/3 = 133,3
Phương sai của lợi nhuận của phương án mở rộng:
- trung bình: 2861,1
- lớn: 12444,4
Quyết định được ưu tiên hơn cho mục tiêu giảm thiểu rủi ro hoặc sự không chắc chắn là: mở rộng trung bình.
Cuộc khảo sát tương tác của AHarris dành cho Khách sạn & Khu nghỉ dưỡng InterContinental đã hỏi những người trả lời: “Khi đi du lịch quốc tế, bạn thường tự mình mạo hiểm để trải nghiệm văn hóa hay gắn bó với nhóm du lịch và hành trình của mình?” Cuộc khảo sát cho thấy 23% số người được hỏi gắn bó với nhóm du lịch của họ (USA Today, 21/1/2004).
a. Trong một mẫu gồm sáu du khách quốc tế, xác suất để hai người sẽ gắn bó với nhóm du lịch của họ là bao nhiêu?
b. Trong một mẫu gồm sáu du khách quốc tế, xác suất để có ít nhất hai người sẽ gắn bó với nhóm du lịch của họ là bao nhiêu?
c. Trong một mẫu gồm 10 du khách quốc tế, xác suất để không ai ở lại nhóm du lịch là bao nhiêu?
a. Trong một mẫu gồm 6 du khách quốc tế, xác suất để 2 người sẽ gắn bó với nhóm du lịch của họ là: $f(2)=\left ( ^6_2 \right )0.23^2(1-0.23)^{6-2}=0,28$
b. Trong một mẫu gồm sáu du khách quốc tế, xác suất để có ít nhất hai người sẽ gắn bó với nhóm du lịch của họ là: $1-f(0)-f(1)=0,42$
c. Trong một mẫu gồm 10 du khách quốc tế, xác suất để không ai ở lại nhóm du lịch là: $f(0)=(1-0.23)^10=0,07$
23% ô tô không có bảo hiểm (CNN, 23/2/2006). Vào một ngày cuối tuần cụ thể, có 35 ô tô gặp tai nạn giao thông.
a. Số lượng ô tô dự kiến không được bảo hiểm là bao nhiêu?
b. Phương sai và độ lệch chuẩn là gì?
a. Số lượng ô tô dự kiến không được bảo hiểm là: $E(x)=n.p=35.0,23=8$
b. Phương sai là: $Var(x)=np(1-p)=35.0,23.(1-0,23)=6,2$
Độ lệch chuẩn là: 2,5
Các cuộc gọi điện thoại đến với tốc độ 48 cuộc mỗi giờ tại bàn đặt chỗ của hãng hàng không khu vực.
a. Tính xác suất nhận được 3 cuộc gọi trong khoảng thời gian 5 phút.
b. Tính xác suất nhận được đúng 10 cuộc gọi trong 15 phút.
c. Giả sử hiện tại không có cuộc gọi nào đang bị giữ. Nếu nhân viên mất 5 phút để hoàn thành cuộc gọi hiện tại, bạn dự kiến có bao nhiêu người gọi sẽ đợi vào thời điểm đó? Xác suất để không ai phải đợi là bao nhiêu?
d. Nếu hiện tại không có cuộc gọi nào đang được xử lý, xác suất để nhân viên có thể dành 3 phút cho thời gian riêng tư mà không bị cuộc gọi làm gián đoạn là bao nhiêu?
a.
Trung bình 48 cuộc gọi trong 1 giờ => 24/30 phút => 12/15 phút => 4 cuộc gọi mỗi 5 phút
$f(3)=\frac{4^3.e^{-4}}{3!}=0,195$
b.
Trung bình 12 cuộc gọi mỗi 15 phút
$f(10)=\frac{12^{10}.e^{-12}}{10!}=0,1$
c. Giả sử hiện tại không có cuộc gọi nào đang bị giữ. Nếu nhân viên mất 5 phút để hoàn thành cuộc gọi hiện tại, dự kiến có 4 người gọi sẽ đợi vào thời điểm đó.
Xác suất để không ai phải đợi là: $f(0)=\frac{4^{0}.e^{-4}}{0!}=0,018$
d.
Trung bình 12/15 phút => 2,4 cuộc gọi mỗi 3 phút
Nếu hiện tại không có cuộc gọi nào đang được xử lý, xác suất để nhân viên có thể dành 3 phút cho thời gian riêng tư mà không bị cuộc gọi làm gián đoạn là: $f(0)=\frac{2,4^{0}.e^{-2,4}}{0!}=0,09$
Hội đồng An toàn Quốc gia (NSC) ước tính rằng các tai nạn ngoài công việc khiến các doanh nghiệp Mỹ thiệt hại gần 200 tỷ USD hàng năm do mất năng suất (Hội đồng An toàn Quốc gia, tháng 3 năm 2006). Dựa trên ước tính của NSC, các công ty có 50 nhân viên dự kiến sẽ có trung bình ba vụ tai nạn ngoài công việc của nhân viên mỗi năm. Trả lời các câu hỏi sau đây cho các công ty có 50 nhân viên.
a. Xác suất không xảy ra tai nạn ngoài công việc trong khoảng thời gian một năm là bao nhiêu?
b. Xác suất xảy ra ít nhất hai vụ tai nạn ngoài công việc trong khoảng thời gian một năm là bao nhiêu?
c. Số vụ tai nạn ngoài công việc dự kiến trong sáu tháng là bao nhiêu?
d. Xác suất không xảy ra tai nạn ngoài công việc trong sáu tháng tới là bao nhiêu?
a.
Xác suất không xảy ra tai nạn ngoài công việc trong khoảng thời gian một năm là: $f(0)=\frac{3^{0}.e^{-3}}{0!}=0,05$
b.
Xác suất xảy ra ít nhất hai vụ tai nạn ngoài công việc trong khoảng thời gian một năm là: $1-f(0)-f(1)=1-0,05-0,15=0,8$
c.
Cứ 50 nhân viên dự kiến sẽ có trung bình 3 vụ tai nạn ngoài công việc của nhân viên mỗi năm
=> Cứ 50 nhân viên dự kiến sẽ có trung bình 1,5 vụ tai nạn ngoài công việc của nhân viên mỗi 6 tháng
Số vụ tai nạn ngoài công việc dự kiến trong sáu tháng là: 1,5
d. Xác suất không xảy ra tai nạn ngoài công việc trong sáu tháng tới là: $f(0)=\frac{1,5^{0}.e^{-1,5}}{0!}=0,22$
Cầu chì điện do Ontario Electric sản xuất được đóng gói trong hộp 12 chiếc mỗi chiếc. Giả sử một thanh tra viên chọn ngẫu nhiên ba trong số 12 cầu chì trong một hộp để kiểm tra.
a. Nếu hộp chứa đúng 5 cầu chì bị hỏng thì xác suất để người kiểm tra tìm thấy đúng 1 trong 3 cầu chì bị hỏng là bao nhiêu?
b. Tính xác suất tìm thấy ít nhất 1 cầu chì bị lỗi.
c. Tính giá trị trung bình và phương sai của số cầu chì bị lỗi .
a.
$n = 3, N = 12, r = 5$
Xác suất để người kiểm tra tìm thấy đúng 1 trong 3 cầu chì bị hỏng là: $f(1)=\frac{\left ( ^5_1 \right ).\left ( ^{12-5}_{3-1} \right )}{\left ( ^{12}_3 \right )}=0,477$
b. Xác suất tìm thấy ít nhất 1 cầu chì bị lỗi là: $1-f(0)=1-\frac{\left ( ^5_0 \right ).\left ( ^{12-5}_{3-0} \right )}{\left ( ^{12}_3 \right )}=1-0,159=0,841$
c.
Trung bình: $E(x)=3.\frac{5}{12}=1,25$
Phương sai: $Var(x)=3.\frac{5}{12}.\left ( 1-\frac{5}{12} \right ).\frac{12-3}{12-1}=0,6$
Trong một cuộc khảo sát do Tổ chức Gallup thực hiện, những người trả lời được hỏi: “Bạn thích xem môn thể thao nào nhất?” Bóng đá và bóng rổ xếp thứ nhất và thứ hai về mức độ được ưa thích (trang web Gallup, ngày 3 tháng 1 năm 2004). Giả sử rằng trong một nhóm gồm 10 người, có 7 người thích bóng đá và 3 người thích bóng rổ. Một mẫu ngẫu nhiên gồm ba cá nhân này được chọn.
a. Xác suất để có chính xác hai người thích bóng đá là bao nhiêu?
b. Xác suất để đa số (hai hoặc ba) thích bóng đá là bao nhiêu?
a.
Xác suất để có chính xác hai người thích bóng đá là: $f(2)=\frac{\left ( ^7_2 \right ).\left ( ^{10-7}_{3-2} \right )}{\left ( ^{10}_3 \right )}
=21.3/120=0,525$
b. Xác suất để đa số (hai hoặc ba) thích bóng đá là: $f(2)+f(3)=21.3/120+35.1/120=0,82$
Blackjack, hay còn gọi là 21, là một trò chơi cờ bạc phổ biến được chơi ở các sòng bạc ở Las Vegas. Một người chơi được chia hai lá bài. Các lá bài mặt (jack, queen và king) và lá 10 có giá trị điểm là 10. Aces có giá trị điểm là 1 hoặc 11. Bộ bài 52 lá chứa 16 lá bài có giá trị điểm là 10 (jack, queen, king, và lá 10) và bốn con át.
a. Xác suất để cả hai quân bài được chia đều là quân Át hoặc quân bài 10 điểm là bao nhiêu?
b. Xác suất để cả hai quân bài đều là quân Át là bao nhiêu?
c. Xác suất để cả hai lá bài đều có giá trị điểm là 10 là bao nhiêu?
d. Xì dách là một lá bài 10 điểm và một quân Át có giá trị là 21. Hãy sử dụng câu trả lời của bạn cho các phần (a), (b) và (c) để xác định xác suất người chơi được chia bài xì dách. (Gợi ý: Phần (d) không phải là một bài toán siêu hình học. Hãy phát triển mối quan hệ logic của riêng bạn về cách kết hợp các xác suất siêu bội từ các phần (a), (b) và (c) để trả lời câu hỏi này.)
a. Xác suất để cả hai quân bài được chia đều là quân Át hoặc quân 10 điểm là: $f_1(2)=\frac{\left ( ^{20}_2 \right ).\left ( ^{52-20}_{2-2} \right )}{\left ( ^{52}_2 \right )}
=190.1/1326=0,143$
b. Xác suất để cả hai quân bài đều là quân Át là$f_2(2)=\frac{\left ( ^4_2 \right ).\left ( ^{52-4}_{2-2} \right )}{\left ( ^{52}_2 \right )}
=6.1/1326=0,0045$?
c. Xác suất để cả hai lá bài đều có giá trị điểm là 10 là: $f_3(2)=\frac{\left ( ^{16}_2 \right ).\left ( ^{52-16}_{2-2} \right )}{\left ( ^{52}_2 \right )}
=120.1/1326=0,09$
d.
Xác suất người chơi được chia bài xì dách là: $f_1(2)-f_2(2)-f_3(2)=0,048$
Chương trình Cứu trợ Tài sản gặp khó khăn (TARP), được Quốc hội Hoa Kỳ thông qua vào tháng 10 năm 2008, đã cung cấp 700 tỷ USD hỗ trợ cho nền kinh tế đang gặp khó khăn của Hoa Kỳ. Hơn 200 tỷ USD đã được trao cho các tổ chức tài chính gặp khó khăn với hy vọng rằng sẽ có sự gia tăng cho vay để giúp khởi động lại nền kinh tế. Nhưng ba tháng sau, một cuộc khảo sát của Cục Dự trữ Liên bang cho thấy 2/3 số ngân hàng nhận được vốn TARP đã thắt chặt các điều khoản đối với các khoản cho vay kinh doanh (The Wall Street Journal, ngày 3 tháng 2 năm 2009). Trong số 10 ngân hàng nhận được quỹ TARP nhiều nhất, chỉ có 3 ngân hàng thực sự tăng cho vay trong giai đoạn này.
Với mục đích của bài tập này, giả sử rằng bạn sẽ chọn ngẫu nhiên ba trong số mười ngân hàng này cho một nghiên cứu sẽ tiếp tục theo dõi hoạt động cho vay của ngân hàng. Gọi x là biến ngẫu nhiên biểu thị số lượng ngân hàng trong nghiên cứu đã tăng cường cho vay.
a. f (0) là gì? Giải thích của bạn về giá trị này là gì?
b. f (3) là gì? Giải thích của bạn về giá trị này là gì?
c. Tính f (1) và f (2). Hiển thị phân phối xác suất cho số lượng ngân hàng trong nghiên cứu đã tăng cho vay. Giá trị nào của x có xác suất cao nhất?
d. Xác suất để nghiên cứu có ít nhất một ngân hàng tăng cho vay là bao nhiêu?
e. Tính giá trị kỳ vọng, phương sai cho biến ngẫu nhiên.
a. f (0) là xác suất để không có ngân hàng nào tăng cho vay trong số 3 ngân hàng được chọn.
$f(0)=\frac{\left ( ^{3}_0 \right ).\left ( ^{10-3}_{3-0} \right )}{\left ( ^{10}_3 \right )}
=1.35/120=0,29$
b. f (3) là xác suất để cả3 ngân hàng được chọn đều tăng cho vay.
$f(3)=\frac{\left ( ^{3}_3 \right ).\left ( ^{10-3}_{3-3} \right )}{\left ( ^{10}_3 \right )}
=1.1/120=0,0083$
c.
$f(1)=\frac{\left ( ^{3}_1 \right ).\left ( ^{10-3}_{3-1} \right )}{\left ( ^{10}_3 \right )}
=3.21/120=0,525$
$f(2)=\frac{\left ( ^{3}_2 \right ).\left ( ^{10-3}_{3-2} \right )}{\left ( ^{10}_3 \right )}
=3.7/120=0,175$
$f(1)$ lớn nhất.
d. Xác suất để nghiên cứu có ít nhất một ngân hàng tăng cho vay là: $1-f(0)=0,708$
e.
Kỳ vọng: $E(x)=\mu=n.\frac{r}{N}=3.\frac{3}{10}=0,9$.
Phương sai: $Var(x)=3.\frac{3}{10}.\left ( 1-\frac{3}{10} \right ).\frac{10-3}{10-1}=0,49$.
Cuộc thăm dò về số tiền lớn của Barron đã hỏi 131 nhà quản lý đầu tư trên khắp nước Mỹ về triển vọng đầu tư ngắn hạn của họ (Barron’s, 28 tháng 10 năm 2002). Phản hồi của họ cho thấy 4% rất lạc quan, 39% lạc quan, 29% trung lập, 21% bi quan và 7% rất
bi quan. Gọi x là biến ngẫu nhiên phản ánh mức độ lạc quan về thị trường. Đặt x=5 cho mức rất lạc quan xuống đến x=1 cho mức rất giảm giá.
a. Phát triển phân phối xác suất cho mức độ lạc quan của các nhà quản lý đầu tư.
b. Tính giá trị kỳ vọng cho mức độ lạc quan.
c. Tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mức độ lạc quan.
a.
f(5)=4%
f(4)=39%
f(3)=29%
f(2)=21%
f(1)=7%
b.
Kỳ vọng cho mức độ lạc quan là: 3,12
c.
Phương sai: 2,77
Độ lệch chuẩn: 1,66
Một nhóm hành động chính trị đang lên kế hoạch phỏng vấn các chủ sở hữu nhà để đánh giá tác động do giá nhà đất sụt giảm gần đây. Theo cuộc thăm dò của Wall Street Journal/Harris Interactive Personal Finance, 26% cá nhân ở độ tuổi 18–34, 50% cá nhân ở độ tuổi 35–44 và 88% cá nhân từ 55 tuổi trở lên là chủ sở hữu nhà (trang web All Business, ngày 23 tháng 1 , 2008).
a. Phải lấy mẫu bao nhiêu người trong độ tuổi 18–34 để tìm ra số lượng dự kiến có ít nhất 20 chủ sở hữu nhà?
b. Phải lấy mẫu bao nhiêu người trong độ tuổi 35–44 để tìm ra số lượng dự kiến có ít nhất 20 chủ sở hữu nhà?
c. Phải lấy mẫu bao nhiêu người từ độ tuổi 55 trở lên để tìm ra số lượng dự kiến có ít nhất 20 chủ sở hữu nhà?
d. Nếu số lượng người từ 18–34 tuổi được lấy mẫu bằng với giá trị được xác định ở phần (a), thì độ lệch chuẩn của số người sẽ là chủ sở hữu nhà là bao nhiêu?
a.
20/26%=77
b.
20/50%=40
c.
20/88%=23
d.
Phương sai: $Var(x)=np(1-p)=77.26%.(1-26%)=14,8$.
Độ lệch chuẩn: 3,85
Một quy trình sản xuất tự động mới có trung bình 1,5 lần hỏng hóc mỗi ngày. Do chi phí liên quan đến sự cố, ban quản lý lo ngại về khả năng xảy ra ba sự cố trở lên trong một ngày. Giả sử rằng sự cố xảy ra ngẫu nhiên, xác suất xảy ra sự cố là như nhau trong hai khoảng thời gian bất kỳ có độ dài bằng nhau và sự cố trong một giai đoạn không phụ thuộc vào sự cố trong các giai đoạn khác. Xác suất xảy ra ba sự cố trở lên trong một ngày là bao nhiêu?
$f(0)=\frac{1,5^0e^{-1,5}}{0!}=,022$
$f(1)=\frac{1,5^1e^{-1,5}}{1!}=0,33$
$f(2)=\frac{1,5^2e^{-1,5}}{2!}=0,25$
Xác suất xảy ra ba sự cố trở lên trong một ngày là: $1-f(0)-f(1)-f(2)=0,19$