Test6 | Phân phối xác suất liên tục
Delta Airlines báo giá thời gian bay là 2 giờ 5 phút cho các chuyến bay từ Cincinnati đến Tampa. Giả sử chúng ta tin rằng thời gian bay thực tế được phân bố đều trong khoảng từ 2 giờ đến 2 giờ 20 phút.
a. Xác suất để chuyến bay bị trễ không quá 5 phút là bao nhiêu?
b. Xác suất để chuyến bay bị trễ hơn 10 phút là bao nhiêu?
c. Thời gian bay dự kiến là bao lâu?
a.
f(x)=1/20
Xác suất để chuyến bay bị trễ không quá 5 phút là: P(2h5<x<2h10)=5/20
b. Xác suất để chuyến bay bị trễ hơn 10 phút là: P(2h15<x<2h20)=5/20
c. Thời gian bay dự kiến là: E(x)=(2h+2h20)/2=2h10
Giả sử chúng ta quan tâm đến việc đấu giá một mảnh đất và chúng ta biết một người đấu giá khác cũng quan tâm.1 Người bán thông báo rằng giá thầu cao nhất vượt quá 10.000 USD sẽ được chấp nhận. Giả sử giá thầu x của đối thủ cạnh tranh là một biến ngẫu nhiên được phân bổ đồng đều trong khoảng từ 10.000 USD đến 15.000 USD.
a. Giả sử bạn đặt giá thầu 12.000 đô la. Xác suất giá thầu của bạn sẽ được chấp nhận là bao nhiêu?
b. Giả sử bạn đặt giá thầu 14.000 đô la. Xác suất giá thầu của bạn sẽ được chấp nhận là bao nhiêu?
c. Bạn nên đặt giá thầu bao nhiêu để tối đa hóa xác suất bạn có được tài sản?
a. Giả sử bạn đặt giá thầu 12.000 đô la. Xác suất giá thầu của bạn sẽ được chấp nhận là: P(10000<x<12000)=2/5=0,4
b. Giả sử bạn đặt giá thầu 14.000 đô la. Xác suất giá thầu của bạn sẽ được chấp nhận là: P(10000<x<14000)=4/5=0,8
c. Để tối đa hóa xác suất bạn có được tài sản nên đặt giá thầu là: 15000
Đối với những người đi vay có điểm tín dụng tốt, khoản nợ trung bình đối với các tài khoản quay vòng và trả góp là 15.015 USD (BusinessWeek, ngày 20 tháng 3 năm 2006). Giả sử độ lệch chuẩn là $3540 và số nợ có phân phối chuẩn.
a. Xác suất để một người đi vay có tín dụng tốt có khoản nợ lớn hơn 18.000 USD là bao nhiêu?
b. Xác suất mà khoản nợ của một người đi vay có tín dụng tốt nhỏ hơn 10.000 USD là bao nhiêu?
a. Xác suất để một người đi vay có tín dụng tốt có khoản nợ lớn hơn 18.000 USD là: P(x>18000)
z=x-15015/3540 => x=3540z+15015>18000 => z>0,843
P(x>18000)=P(z>0,843)=0,7995
b. Xác suất mà khoản nợ của một người đi vay có tín dụng tốt nhỏ hơn 10.000 USD là: P(x<10000)
x=3540z+15015<10000 => z<-1,417
P(x<10000)=P(z<-1,417)
P(z<1,4)=0,9207
P(z<-1,417)=P(z>1,417)=1-0,9207=0,0793
Vào tháng 1 năm 2003, một công nhân Mỹ dành trung bình 77 giờ để truy cập Internet khi làm việc (CNBC, 15 tháng 3 năm 2003). Giả sử giá trị trung bình của tổng thể là 77 giờ, thời gian có phân phối chuẩn và độ lệch chuẩn là 20 giờ.
a. Xác suất để vào tháng 1 năm 2003, một nhân viên được chọn ngẫu nhiên dành ít hơn 50 giờ đăng nhập vào Internet là bao nhiêu?
b. Bao nhiêu phần trăm người lao động dành hơn 100 giờ vào tháng 1 năm 2003 để đăng nhập vào Internet?
c. Một người được phân loại là người sử dụng nhiều nếu người đó nằm trong 20% mức sử dụng trên. Vào tháng 1 năm 2003, một nhân viên phải đăng nhập Internet bao nhiêu giờ để được coi là người sử dụng nhiều?
a. Xác suất để vào tháng 1 năm 2003, một nhân viên được chọn ngẫu nhiên dành ít hơn 50 giờ đăng nhập vào Internet là: P(x<50)
z=x-77/20
x<50 => z<50-77/20 => z<-1,35
P(x<50)=P(z<-1,35)=1-P(z<1,35)=1-0,9115=0,0885
b. Xác suất người lao động dành hơn 100 giờ vào tháng 1 năm 2003 để đăng nhập vào Internet là: P(x>100)=P(z>1,15)=1-0,8749=0,1251=12,51%
c.
P(z<0,84)=0,7995
P(z<0,85)=0,8023
=>chọn (z>0,84) để P(z>0,84)>20%
z>0,84 => x>0,84.20+77 => x>93,8
Vào tháng 1 năm 2003, một nhân viên phải đăng nhập Internet hơn 93,8 giờ để được coi là người sử dụng nhiều
Mặc dù các nghiên cứu tiếp tục cho thấy hút thuốc dẫn đến các vấn đề sức khỏe nghiêm trọng, nhưng 20% người trưởng thành ở Hoa Kỳ hút thuốc. Hãy xem xét một nhóm gồm 250 người lớn.
a. Số người trưởng thành hút thuốc dự kiến là bao nhiêu?
b. Xác suất để có ít hơn 40 người hút thuốc là bao nhiêu?
c. Xác suất để từ 55 đến 60 khói là bao nhiêu?
d. Xác suất để có 70 người hút thuốc trở lên là bao nhiêu?
a. Số người trưởng thành hút thuốc dự kiến là: np=250.20%=50
b.
$\mu=np=50,\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{50.0,8}=6,3$
Xác suất để có ít hơn 40 người hút thuốc là: P(x<40)
z=x-50/6,3
x<40 => z<-1,58
P(x<40)=P(z<-1,58)=1-P(z<1,58)=1-0,9429=0,0571
c. Xác suất để từ 55 đến 60 khói là: P(55<x<60)
55<x<60 => 0,79<z<1,58
P(55<x<60)=P(0,79<z<1,58)=P(z<1.58)-P(z<0,79)=0,9429-0,7852=0,1577
d. Xác suất để có 70 người hút thuốc trở lên là: P(x>70)
x>70 => z>3,16
P(x>70)=P(z>3,16)=1-P(z<3,16)=1-0,9992=0,0008
Thời gian cần thiết để vượt qua khâu kiểm tra an ninh tại sân bay có thể gây khó chịu cho du khách. Thời gian chờ trung bình trong thời gian cao điểm tại Sân bay Quốc tế Cincinnati/Bắc Kentucky là 12,1 phút (The Cincinnati Enquirer, ngày 2 tháng 2 năm 2006). Giả sử thời gian vượt qua quá trình sàng lọc an ninh tuân theo phân bố hàm mũ.
a. Xác suất để mất ít hơn 10 phút để vượt qua kiểm tra an ninh trong thời gian cao điểm là bao nhiêu?
b. Xác suất để mất hơn 20 phút để vượt qua kiểm tra an ninh trong thời gian cao điểm là bao nhiêu?
c. Xác suất để mất từ 10 đến 20 phút để vượt qua khâu kiểm tra an ninh trong thời gian cao điểm là bao nhiêu?
d. Bây giờ là 8 giờ sáng. (thời kỳ cao điểm) và bạn vừa bước vào hàng bảo mật. Để bắt được máy bay, bạn phải có mặt ở cổng trong vòng 30 phút. Nếu mất 12 phút kể từ khi bạn kiểm tra an ninh cho đến khi đến cổng, xác suất bạn sẽ bị lỡ chuyến bay là bao nhiêu?
a. Xác suất để mất ít hơn 10 phút để vượt qua kiểm tra an ninh trong thời gian cao điểm là: $P(x\leq 10)=1-e^{-10/12,1}=0,562$
b. Xác suất để mất hơn 20 phút để vượt qua kiểm tra an ninh trong thời gian cao điểm là: $P(x>20)=1-P(x\leq 20)=1-(1-e^{-20/12,1})=e^{-20/12,1}=0,191$
c. Xác suất để mất từ 10 đến 20 phút để vượt qua khâu kiểm tra an ninh trong thời gian cao điểm là: $P(10<x<20)=P(x<20)-P(x<10)=e^{-10/12,1}-e^{-20/12,1}=0,246$
d.
Xác suất bạn sẽ bị lỡ chuyến bay là: $P(x>30)=1-P(x\leq 30)=e^{-30/12,1}=0,084$
Một giám đốc kinh doanh, được chuyển từ Chicago đến Atlanta, cần bán nhanh căn nhà của mình ở Chicago. Người chủ của vị giám đốc điều hành này đã đề nghị mua căn nhà với giá 210.000 USD, nhưng lời đề nghị này sẽ hết hạn vào cuối tuần. Giám đốc điều hành hiện không có lời đề nghị nào tốt hơn nhưng có đủ khả năng để rời khỏi ngôi nhà trên thị trường trong một tháng nữa. Từ cuộc trò chuyện với người môi giới bất động sản của mình, vị giám đốc điều hành này tin rằng mức giá mà cô sẽ nhận được khi rao bán ngôi nhà trong một tháng nữa sẽ được phân bổ đồng đều trong khoảng từ 200.000 đến 225.000 USD.
a. Nếu cô ấy rao bán căn nhà thêm một tháng nữa thì biểu thức toán học của hàm mật độ xác suất của giá bán là bao nhiêu?
b. Nếu cô ấy để nó trên thị trường thêm một tháng nữa, xác suất cô ấy sẽ nhận được ít nhất 215.000 USD cho căn nhà là bao nhiêu?
c. Nếu cô ấy để nó trên thị trường thêm một tháng nữa, xác suất cô ấy sẽ nhận được ít hơn 210.000 đô la là bao nhiêu?
d. Người điều hành có nên để ngôi nhà trên thị trường thêm một tháng nữa không? Tại sao hoặc tại sao không?
a.
225k – 200k = 25k
Nếu cô ấy rao bán căn nhà thêm một tháng nữa thì biểu thức toán học của hàm mật độ xác suất của giá bán là: $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{25000} & ,x\in[200000;225000]\\
0 & ,x\notin [200000;225000]
\end{matrix}\right.
$
b. Nếu cô ấy để nó trên thị trường thêm một tháng nữa, xác suất cô ấy sẽ nhận được ít nhất 215.000 USD cho căn nhà là: $P(x>215000)=\frac{1}{25000}.(225000-215000)=0,4$
c. Nếu cô ấy để nó trên thị trường thêm một tháng nữa, xác suất cô ấy sẽ nhận được ít hơn 210.000 đô la là: $P(x<210000)=\frac{1}{25000}.(210000-200000)=0,4$
d. Người điều hành không nên để ngôi nhà trên thị trường thêm một tháng nữa vì khả năng vượt ngân sách sẽ là 60%.
Cục Thống kê Lao động Hoa Kỳ báo cáo rằng chi tiêu trung bình hàng năm cho thực phẩm và đồ uống của mọi gia đình là $5700 (Money, tháng 12 năm 2003). Giả sử rằng chi tiêu hàng năm cho thực phẩm và đồ uống có phân phối chuẩn và độ lệch chuẩn là $1500.
a. Phạm vi chi tiêu của 10% gia đình có mức chi tiêu hàng năm thấp nhất cho thực phẩm và đồ uống là bao nhiêu?
b. Bao nhiêu phần trăm gia đình chi hơn 7000 đô la hàng năm cho thực phẩm và đồ uống?
c. Phạm vi chi tiêu của 5% gia đình có mức chi tiêu hàng năm cao nhất cho thực phẩm và đồ uống là bao nhiêu?
a.
$\mu=5700,\sigma=1500$
P(x<a)=10%
z=x-5700/1500
P(x<a)=P(z<b)=0,1
P(z<1,28)=0,8997 => P(z<-1,28)=10%
z=x-5700/1500<-1,28 => x<3780
Phạm vi chi tiêu của 10% gia đình có mức chi tiêu hàng năm thấp nhất cho thực phẩm và đồ uống là: dưới 3780
b. Phần trăm gia đình chi hơn 7000 đô la hàng năm cho thực phẩm và đồ uống là: P(x>7000)
x>7000 => z>0,87
P(x>7000)=P(z>0,87)=1-P(z<0,87)=1-0,8078=0,1922=19%
c.
P(x>a)=P(z>b)=5%
=> P(z<b)=95%
P(z<1,64)=0,9495
z=x-5700/1500>1,64 => x>8164
Phạm vi chi tiêu của 5% gia đình có mức chi tiêu hàng năm cao nhất cho thực phẩm và đồ uống là: trên 8164
Một máy đổ đầy các thùng chứa một sản phẩm cụ thể. Độ lệch chuẩn của trọng lượng đổ đầy được biết từ dữ liệu trước đây là 0,6 ounce. Nếu chỉ có 2% số thùng chứa ít hơn 18 ounce thì trọng lượng đổ đầy trung bình của máy là bao nhiêu? Giả sử trọng lượng đổ đầy có phân phối chuẩn.
$\sigma_1=0,6$
$z=x-\mu/0,6$ => $\mu=x-0,6.z$
P(x<18)=P(z<a)=2%
P(z<2,5)=0,9798 => P(z<-2,5)=P(z>2,5)=2%
z<-2,5 khi x<18 => $\mu=19,5$
Một người chơi blackjack tại một sòng bạc ở Las Vegas biết được rằng nhà cái sẽ cung cấp một phòng miễn phí nếu chơi trong bốn giờ với mức đặt cược trung bình là 50 đô la. Chiến lược của người chơi cung cấp cho một trường hợp có xác suất thắng là 0,49 ở một ván bài bất kỳ và người chơi biết rằng có 60 ván bài mỗi giờ. Giả sử người chơi chơi trong bốn giờ với mức đặt cược là 50 USD mỗi ván bài.
a. Phần thưởng mong đợi của người chơi là bao nhiêu?
b. Xác suất người chơi thua 1000 USD trở lên là bao nhiêu?
c. Xác suất người chơi thắng là bao nhiêu?
d. Giả sử người chơi bắt đầu với $1500. Xác suất phá sản là bao nhiêu?
a.
Tổng số ván chơi là: 60 . 4 = 240 ván.
Số tiền kỳ vọng sau mỗi ván là: 50.0,49-50.0,51=-1$
Phần thưởng mong đợi của người chơi là: -1.240=-240$
b.
x: số ván thắng
y: số tiền nhận được
Khi x=0 thì y=-50.240=-12000
x=1 thì y=-12000+100=-11900
x=2 thì y=-12000+200=-11800
x=a thì y=-12000+a.100=-1000 => a=110
Xác suất người chơi thua 1000 USD trở lên là: $P(x\leq 110)$
x có phân phối nhị thức, có thể xấp xỉ thành phân phối chuẩn với $\mu=np=240.0,49=117,6,\sigma=7,74$
z=x-117,6/7,74
x<110 => z<-0,98
$P(x\leq 110)=P(z<-0,98)=1-P(z<0,98)=1-0,8365=0,1635$
c. Xác suất người chơi thắng là: P(x>120)
x>120 => z>0,31
P(x>120)=P(z>0,31)=1-P(z<0,31)=1-0,6179=0,3821
d. Người chơi bắt đầu với $1500.
x=a thì y=-12000+a.100>-1500 => a>105
Xác suất phá sản là: P(x>105)
x>105 => z>-1,63
P(x>105)=P(z>-1,63)=P(z<1,63)=0,9484
Trang web của Bed and Breakfast Inns ở Bắc Mỹ có khoảng bảy khách truy cập mỗi phút (Thời gian, tháng 9 năm 2001). Giả sử số lượng khách truy cập trang web mỗi phút tuân theo phân phối xác suất Poisson.
a. Thời gian trung bình giữa các lần truy cập vào trang web là bao lâu?
b. Hiển thị hàm mật độ xác suất theo cấp số nhân cho thời gian giữa các lần truy cập trang web.
c. Xác suất không có ai truy cập trang web trong khoảng thời gian 1 phút là bao nhiêu?
d. Xác suất không ai truy cập trang web trong khoảng thời gian 12 giây là bao nhiêu?
a. Thời gian trung bình giữa các lần truy cập vào trang web là: 60/7=8,57s
b. Hàm mật độ xác suất theo cấp số nhân cho thời gian giữa các lần truy cập trang web là: $f(x)=\frac{1}{8,57}e^{-x/8,57}$
c. Xác suất không có ai truy cập trang web trong khoảng thời gian 1 phút là: $f(0)=\frac{7^0e^{-7}}{0!}=0,0009$
d.
60/12=5
Số khách truy cập trong 12 s là: 7/5=1,4
Xác suất không ai truy cập trang web trong khoảng thời gian 12 giây là: $f(0)=\frac{1,4^0e^{-1,4}}{0!}=0,2466$