Thử tưởng tượng: Đặt mép thước đi qua $M$ song song với $a$. Nếu xoay nhẹ thước đi một góc dù rất nhỏ, đường kẻ mới có cắt đường thẳng $a$ ở phía xa không?
Chính xác! Qua điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $a$, ta chỉ có thể vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với $a$. Đây chính là Tiên đề Euclid.
Chú ý hai điều kiện bắt buộc: 1) Điểm phải nằm Ở NGOÀI đường thẳng; 2) Phải mang tính DUY NHẤT (chỉ có một).
Rất sắc sảo! Tiên đề Euclid: 'Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó'. Không thể thiếu cụm từ "ở ngoài" và "chỉ có một".
Điểm $M$ nằm trên cả đường thẳng $a$ và $c$. Đề bài đã cho $a \parallel b$. Nếu $c$ cũng song song với $b$, thì qua điểm $M$ sẽ có bao nhiêu đường thẳng cùng song song với $b$?
Khả năng phản biện tuyệt vời! Nếu $c \parallel b$, thì qua điểm $M$ có cả $a$ và $c$ cùng song song với $b \implies$ Mâu thuẫn Tiên đề Euclid. Do đó $c$ phải cắt $b$.
Hệ quả: Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại.
Khi hai đường thẳng đã song song, thử đo đạc hoặc quan sát độ mở của hai góc nằm "so le" phía trong hai đường thẳng xem chúng có bằng nhau không?
Chính xác! Tính chất: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.
Thử trượt đỉnh phía trên xuống chồng khít lên đỉnh phía dưới theo đường cắt: hai góc cùng vị trí (đồng vị) sẽ trùng khít nhau hay lệch nhau?
Rất chuẩn! Tính chất: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau.
Áp dụng trực tiếp 2 tính chất vừa học: Góc $\widehat{ABx'}$ so le trong với $\widehat{BAy}$; góc $\widehat{y'Bz'}$ đồng vị với $\widehat{BAy}$.
Chính xác! Do $xy \parallel x'y'$ nên: $\widehat{ABx'} = \widehat{BAy} = 50^\circ$ (so le trong) và $\widehat{y'Bz'} = \widehat{BAy} = 50^\circ$ (đồng vị).
Góc trong cùng phía kề bù với góc so le trong (tổng bằng $180^\circ$). Lấy $180^\circ - 50^\circ$ sẽ ra kết quả.
Tuyệt vời! Hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song luôn bù nhau (tổng bằng $180^\circ$): $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
Vì $MN \parallel BC$: góc $\widehat{BMN}$ và $\widehat{ABC}$ là hai góc trong cùng phía (bù nhau, tổng $180^\circ$). Tương tự, góc $\widehat{MNC}$ và $\widehat{ACB}$ cũng là hai góc trong cùng phía (bù nhau, tổng $180^\circ$).
Rất chính xác! Do $MN \parallel BC$ nên $\widehat{BMN} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ và $\widehat{ACB} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ (các cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Đường thẳng $zz' \perp xx'$ tạo góc $90^\circ$. Do $xx' \parallel yy'$, góc đồng vị tại đường thẳng $yy'$ cũng phải bằng bao nhiêu độ?
Chuẩn xác! Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia (vì góc đồng vị bằng $90^\circ$).
Nếu $a$ cắt $b$ tại một điểm, qua điểm đó có 2 đường thẳng cùng song song với $c \implies$ trái với Tiên đề Euclid.
Chính xác! Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau ($a \parallel c$ và $b \parallel c \implies a \parallel b$).
Góc $\widehat{mHK}$ so le trong với góc $\widehat{vKq}$ (hoặc đối đỉnh với góc đồng vị); góc $\widehat{vHn}$ đồng vị với góc $\widehat{vKq}$.
Tuyệt vời! Do $mn \parallel pq$ nên $\widehat{vHn} = \widehat{vKq} = 70^\circ$ (hai góc đồng vị). Góc $\widehat{mHK}$ đối đỉnh với $\widehat{vHn}$ (hoặc so le trong với góc đối) nên $\widehat{mHK} = 70^\circ$.
Bước 1: Do có cặp góc so le trong bằng $70^\circ$ nên $Am \parallel By$. Bước 2: Hai góc $\widehat{yCt}$ và $\widehat{CDm}$ ở vị trí ĐỒNG VỊ của hai đường song song đó.
Rất xuất sắc! Vì có hai góc so le trong bằng $70^\circ$ nên $Am \parallel By$. Khi đó $\widehat{CDm}$ và $\widehat{yCt}$ là hai góc đồng vị nên $\widehat{CDm} = 120^\circ$.
Cặp góc $65^\circ = 65^\circ$ ở vị trí so le trong $\implies xx' \parallel yy'$. Khi đó góc tại $M$ ($70^\circ$) và góc $\widehat{MNB}$ là hai góc TRONG CÙNG PHÍA (bù nhau).
Chính xác! Cát tuyến thứ nhất chứng minh $xx' \parallel yy'$. Cát tuyến thứ hai cho thấy góc $70^\circ$ và $\widehat{MNB}$ là hai góc trong cùng phía, vậy $\widehat{MNB} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
1) $Ax \parallel Dy$ mà $AD \perp Ax$ nên $AD$ có quan hệ gì với $Dy$? 2) Góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{BCy}$ ở vị trí gì (so le trong hay đồng vị)?
Đúng 100%! Do $Ax \parallel Dy$ và $AD \perp Ax$ nên $AD \perp Dy \implies \widehat{ADC} = 90^\circ$. Ngoài ra $\widehat{ABC} = \widehat{BCy} = 50^\circ$ (hai góc so le trong).
Điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $BC$, điểm $B$ nằm ngoài đường thẳng $AC$. Áp dụng Tiên đề Euclid cho từng điểm.
Tuyệt vời! Theo Tiên đề Euclid, qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với nó. Vì vậy chỉ có duy nhất 1 đường thẳng $a$ và duy nhất 1 đường thẳng $b$.
Cả hai đường thẳng $HK$ và $MN$ đều đang cùng song song với đường thẳng thứ ba là đường nào?
Hoàn hảo! Dựa vào tính chất bắc cầu: 'Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau' ($HK \parallel EF$ và $MN \parallel EF \implies HK \parallel MN$).
Đọc mục "Em có biết?" ở cuối trang 54: Bộ sách gồm 13 cuốn do Euclid viết ra mang tên một từ rất mộc mạc nói về nền tảng.
Chính xác! Bộ sách 'Cơ bản' (Elements) gồm 13 cuốn của Euclid là một trong những công trình khoa học có ảnh hưởng nhất mọi thời đại, với câu nói bất hủ: 'Trong Hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa'!