Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một thừa số bằng 0.
$$(ax+b)(cx+d)=0 \iff ax+b=0 \quad \text{hoặc} \quad cx+d=0$$ Do đó, ta giải riêng rẽ từng phương trình bậc nhất rồi lấy hợp tất cả các nghiệm tìm được: $x = -1$ và $x = \frac{1}{3}$.

Giải độc lập hai phương trình con:
1) $2x + 1 = 0 \iff 2x = -1 \iff x = -\frac{1}{2}$.
2) $3x - 2 = 0 \iff 3x = 2 \iff x = \frac{2}{3}$.
Chú ý đổi dấu khi chuyển vế hạng tử tự do!

Cảnh báo quan trọng: Tuyệt đối không chia cả hai vế cho một biểu thức chứa ẩn!
Quy trình đúng là chuyển vế để vế phải bằng 0, sau đó đặt nhân tử chung:
$$x(x - 1) + 2(x - 1) = 0 \iff (x + 2)(x - 1) = 0 \implies x = -2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1$$

Khai triển theo $A = 2x + 1$ và $B = 3x$:
$$[(2x + 1) - 3x][(2x + 1) + 3x] = 0 \iff (1 - x)(5x + 1) = 0$$ - $1 - x = 0 \implies x = 1$.
- $5x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{5}$.
Sử dụng hằng đẳng thức giúp ta đưa phương trình bậc hai về tích các nhị thức bậc nhất nhanh chóng.

Phép chia cho số 0 là phép toán không xác định trong đại số.
Khi $x = -1$, phân thức trở thành $\frac{1}{0}$, không có nghĩa. Do đó, phương trình trên thực tế là vô nghiệm.
Quy tắc bắt buộc: Trước khi biến đổi phương trình chứa ẩn ở mẫu, luôn luôn phải đặt Điều kiện xác định (ĐKXĐ) để mọi mẫu thức đều khác 0!

ĐKXĐ yêu cầu tất cả các mẫu thức trong phương trình phải đồng thời khác 0 (dùng liên từ VÀ):
$$\begin{cases} x - 1 \ne 0 \\ x \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne 1 \\ x \ne 0 \end{cases}$$ Tuyệt đối không dùng liên từ "hoặc" vì nếu một mẫu bằng 0 thì toàn bộ phương trình đã mất nghĩa.

Biến đổi hằng đẳng thức cho thấy:
$$x^2 + x + 1 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0 \quad (\forall x)$$ Tương tự với $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$.
Do đó, tam thức bậc hai này luôn khác 0 với mọi $x$, ta chỉ cần đặt điều kiện cho phần tử bậc nhất $x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1$.

4 bước chuẩn mực giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
1. Tìm ĐKXĐ của phương trình.
2. Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.
3. Giải phương trình hệ quả nhận được.
4. Kết luận: Đối chiếu giá trị tìm được với ĐKXĐ. Nghiệm làm mẫu số bằng 0 là nghiệm ngoại lai sinh ra trong quá trình khử mẫu và phải loại bỏ. Giá trị $x = 2$ vi phạm ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm.

Khai triển phương trình sau khi khử mẫu:
$$2x + 2 + 2x + 1 = 3 \iff 4x + 3 = 3 \iff 4x = 0 \iff x = 0$$ Đối chiếu ĐKXĐ: $x = 0$ thỏa mãn cả hai điều kiện $x \ne -\frac{1}{2}$ và $x \ne -1$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = 0$. Chú ý $x = 0$ là một nghiệm hoàn toàn hợp lệ nếu mẫu số khác 0!

- Lối đi lùi vào ở cả 2 phía nên cạnh hình vuông còn lại là: $15 - 2x$ (m) với điều kiện $0 < x < 7{,}5$.
- Phương trình: $(15 - 2x)^2 = 169 = 13^2 \iff (15 - 2x - 13)(15 - 2x + 13) = 0 \iff (2 - 2x)(28 - 2x) = 0$.
- Nghiệm: $x = 1$ (thỏa mãn) hoặc $x = 14$ (loại do vượt quá kích thước đất). Vậy lối đi rộng $1\text{ m}$.

- Chiều dài đất làm nhà: $14 - (x + 2) = 12 - x$ (m).
- Chiều rộng đất làm nhà: $12 - x$ (m). (Điều kiện thực tế: $0 < x < 12$).
- Diện tích nhà: $(12 - x)(12 - x) = (12 - x)^2 = 100 = 10^2$.
- Vì $12 - x > 0$ nên $12 - x = 10 \implies x = 2\text{ m}$ (thỏa mãn điều kiện).

Thiết lập phương trình tổng khối lượng công việc:
- Trong 4 giờ đầu, cả 2 người làm được: $4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ công việc.
- Phần việc còn lại người thứ hai phải làm là: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ công việc.
- Người 2 làm phần này trong 12 giờ: $12 \cdot \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} \iff \frac{3}{2} - \frac{12}{x} = \frac{1}{2} \iff \frac{12}{x} = 1 \implies x = 12$ (giờ).
- Năng suất người 2 trong 1 giờ là $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$, vậy người 2 làm một mình mất $24$ giờ.