Bất phương trình | Cơ bản

$a.x^2<c$

• khi $a>0$ thì $\Leftrightarrow x^2<\frac{c}{a}$
• khi $a<0$ thì $\Leftrightarrow x^2>\frac{c}{a}$
• khi $a=0$ thì ta có $0.x^2<c$:
  • nếu $c>0$ thì $x\in R$ tùy ý
  • nếu $c\leq 0$ thì ko có $x$ nào như vậy

$a.x^2+b<c$

$\Leftrightarrow a.x^2<c-b$

$x^2<c$

• nếu $c<0$ thì ko có $x$ nào như vậy
• nếu $c\geq 0$ thì ta có $-\sqrt{c}<x<\sqrt{c}$

$x^2\leq c$

• nếu $c<0$ thì ko có $x$ nào như vậy
• nếu $c> 0$ thì ta có $-\sqrt{c}<x<\sqrt{c}$
• nếu $c=0$ thì bất phương trình có nghiệm $x=0$

$x^2>c$

• nếu $c<0$ thì bất phương trình có nghiệm $x\in R$ tùy ý
• nếu $c> 0$ thì ta có $-\sqrt{c}<x$ hoặc $x>\sqrt{c}$
• nếu $c=0$  thì bất phương trình có nghiệm $x\neq 0$

$x^2\geq c$

• nếu $c\leq 0$ thì bất phương trình có nghiệm $x\in R$ tùy ý
• nếu $c> 0$ thì ta có $-\sqrt{c}<x$ hoặc $x>\sqrt{c}$

$x^2+bx+c<0$

Khi phương trình $x^2+bx+c=0$

• vô nghiệm thì $x^2+bx+c$ luôn dương
• có 1 nghiệm $x=d$ thì $x^2+bx+c=\left ( x-d \right )^2$
• có 2 nghiệm thì $x^2+bx+c$ lúc dương lúc âm

Từ đó ta đưa ra cách giải bất phương trình $x^2+bx+c<0$ như sau:

1. tìm nghiệm của phương trình $x^2+bx+c=0$
2. khi phương trình ở bước 1:
   • có 2 nghiệm $x=m; n$ với $m<n$ thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $m<x<n$
   • có 1 nghiệm $x=d$ thì bất phương trình ban đầu vô  nghiệm
   • vô nghiệm thì bất phương trình ban đầu cũng vô nghiệm

$x^2+bx+c\leq 0$

2 bước giải:

1. tìm nghiệm của phương trình $x^2+bx+c=0$
2. khi phương trình ở bước 1:
   • có 2 nghiệm $x=m; n$ với $m<n$ thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $m\leq x\leq n$
   • có 1 nghiệm $x=d$ thì bất phương trình ban đầu cũng có nghiệm $x=d$
   • vô nghiệm thì bất phương trình ban đầu cũng vô nghiệm

$x^2+bx+c> 0$

2 bước giải:

1. tìm nghiệm của phương trình $x^2+bx+c=0$
2. khi phương trình ở bước 1:
   • có 2 nghiệm $x=m; n$ với $m<n$ thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $x<m$ hoặc $x>n$
   • có 1 nghiệm $x=d$ thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $x\neq d$
   • vô nghiệm thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $x\in R$ tùy ý

$x^2+bx+c\geq 0$

2 bước giải:

1. tìm nghiệm của phương trình $x^2+bx+c=0$
2. khi phương trình ở bước 1:
   • có 2 nghiệm $x=m; n$ với $m<n$ thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $x\leq m$ hoặc $x\geq n$
   • có 1 nghiệm $x=d$ thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $x\in R$ tùy ý
   • vô nghiệm thì bất phương trình ban đầu có nghiệm $x\in R$ tùy ý

$x^2+bx+c< d$

$\Leftrightarrow x^2+bx+c-d< 0$

$a.x^2+bx+c< 0$

• nếu $a>0$ thì $\frac{a.x^2+bx+c}{a}< \frac{0}{a}\Leftrightarrow x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}<0$
• nếu $a<0$ thì $\Leftrightarrow x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}>0$
• nếu $a=0$ thì bất phương trình là bậc 1: $0x^2+bx+c<0$

Test2 | Bất phương trình bậc 2