1. Định nghĩa & Ý nghĩa
a. Định nghĩa chính thức
Giá trị tuyệt đối của một số thực $a$, ký hiệu là $|a|$, được định nghĩa như sau:
$$ |a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a \ge 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \end{cases} $$- Nếu một số là dương hoặc bằng 0, giá trị tuyệt đối của nó là chính nó. Ví dụ: $|5| = 5$, $|0| = 0$.
- Nếu một số là âm, giá trị tuyệt đối của nó là số đối của nó. Ví dụ: $|-5| = -(-5) = 5$.
b. Ý nghĩa hình học
Trên trục số, giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến điểm 0. Vì khoảng cách không bao giờ âm nên giá trị tuyệt đối của một số luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Ví dụ: Cả 5 và -5 đều cách điểm 0 một khoảng là 5 đơn vị, vì vậy $|5| = 5$ và $|-5| = 5$.
2. Các tính chất cơ bản
Với mọi số thực $a, b$:
- $|a| \ge 0$ (Giá trị tuyệt đối luôn không âm)
- $|a| = |-a|$ (Hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối)
- $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ (Giá trị tuyệt đối của một tích)
- $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (với $b \neq 0$) (Giá trị tuyệt đối của một thương)
- $|a+b| \le |a| + |b|$ (Bất đẳng thức tam giác)
3. Giải Phương trình & Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
a. Phương trình
Dạng 1: $|A| = B$ (với $B \ge 0$)
Điều này tương đương với $A=B$ hoặc $A=-B$.
Ví dụ: $|x-1| = 3 \implies x-1=3$ hoặc $x-1=-3$. Vậy $x=4$ hoặc $x=-2$.
Dạng 2: $|A| = |B|$
Điều này tương đương với $A=B$ hoặc $A=-B$.
Ví dụ: $|x+2| = |2x-5| \implies x+2=2x-5$ hoặc $x+2=-(2x-5)$.
b. Bất phương trình
Dạng 1: $|A| < B$ (với $B > 0$)
Điều này tương đương với $-B < A < B$. (A nằm "bên trong" khoảng -B và B)
Ví dụ: $|x-1| < 3 \implies -3 < x-1 < 3$. Cộng 1 vào cả ba vế, ta được $-2 < x < 4$.
Dạng 2: $|A| > B$ (với $B > 0$)
Điều này tương đương với $A > B$ hoặc $A < -B$. (A nằm "bên ngoài" khoảng -B và B)
Ví dụ: $|x-1| > 3 \implies x-1 > 3$ hoặc $x-1 < -3$. Vậy $x > 4$ hoặc $x < -2$.
4. Sai lầm thường gặp 🧐
- Quên trường hợp âm: Khi giải phương trình $|A| = B$, nhiều người chỉ giải trường hợp $A=B$ mà quên mất trường hợp $A=-B$.
- Nhầm lẫn quy tắc giải bất phương trình: Đây là lỗi sai rất phổ biến.
- Giải $|A| > B$ thành $-B < A < B$. (Sai)
- Giải $|A| < B$ thành $A < B$ hoặc $A > -B$. (Sai)
Mẹo ghi nhớ: Dấu ">" (lớn hơn) thường tách ra "hai miền bên ngoài". Dấu "<" (nhỏ hơn) thường gom lại "một miền bên trong".
- Phá dấu giá trị tuyệt đối của một tổng: Cho rằng $|a+b| = |a|+|b|$. Điều này chỉ đúng khi $a,b$ cùng dấu. Tính chất đúng là $|a+b| \le |a|+|b|$.
5. Bài tập
Bài tập cơ bản ✏️
Bài 1: Tính giá trị
Tính giá trị của biểu thức $A = |3-8| - |-4|$.
Bài 2: Phương trình cơ bản
Giải phương trình: $|2x - 3| = 7$.
Trường hợp 1: $2x-3=7 \implies 2x=10 \implies x=5$.
Trường hợp 2: $2x-3=-7 \implies 2x=-4 \implies x=-2$.
Vậy, $x \in \{5, -2\}$.
Bài tập nâng cao 🚀
Bài 3: Bất phương trình dạng ">"
Giải bất phương trình: $|3x + 2| > 8$
Áp dụng quy tắc $|A| > B \iff A > B$ hoặc $A < -B$.
Trường hợp 1: $3x+2 > 8 \implies 3x > 6 \implies x > 2$.
Trường hợp 2: $3x+2 < -8 \implies 3x < -10 \implies x < -\frac{10}{3}$.
Vậy, $x > 2$ hoặc $x < -\frac{10}{3}$.
Bài 4: Phương trình $|A|=|B|$
Giải phương trình: $|x - 2| = |3x + 10|$
Áp dụng quy tắc $|A| = |B| \iff A=B$ hoặc $A=-B$.
Trường hợp 1: $x-2 = 3x+10 \implies -2x = 12 \implies x=-6$.
Trường hợp 2: $x-2 = -(3x+10) \implies x-2 = -3x-10 \implies 4x = -8 \implies x=-2$.
Vậy, $x \in \{-6, -2\}$.