Bất phương trình Bậc nhất Hai ẩn

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng tổng quát là $ax + by < c$, $ax + by > c$, $ax + by \le c$, hoặc $ax + by \ge c$, trong đó $a, b, c$ là các số thực đã cho, và $a, b$ không đồng thời bằng 0.

Miền nghiệm của bất phương trình là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng biên $ax+by=c$.

2. Các bước biểu diễn miền nghiệm

  1. Bước 1: Vẽ đường thẳng biên $(d): ax+by=c$.
    • Vẽ bằng nét đứt nếu là dấu $<$ hoặc $>$.
    • Vẽ bằng nét liền nếu là dấu $\le$ hoặc $\ge$.
  2. Bước 2: Chọn điểm thử $M(x_0, y_0)$ không nằm trên $(d)$ (thường là gốc tọa độ $O(0,0)$ nếu có thể).
  3. Bước 3: Thử điểm và kết luận.
    • Nếu thay tọa độ điểm $M$ vào bất phương trình cho kết quả đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $M$.
    • Nếu cho kết quả sai, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm $M$.

3. Hệ Bất phương trình

Miền nghiệm của hệ là phần giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ. Đó là vùng trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình cùng một lúc.

Ví dụ: Miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x+y \le 5 \end{cases}$ là hình tam giác vuông có các đỉnh tại $(0,0), (5,0)$ và $(0,5)$.

4. Sai lầm thường gặp 🧐

  • Vẽ sai loại đường thẳng biên (liền/đứt).
  • Chọn điểm thử nằm trên đường thẳng biên.
  • Gạch/tô sai miền nghiệm sau khi thử điểm: Hãy nhớ quy tắc "Đúng thì giữ, sai thì bỏ".
  • Với hệ bất phương trình: Gạch đúng các miền con nhưng không xác định được đúng phần giao (phần chung cuối cùng).

5. Bài tập

Bài tập cơ bản ✏️

Bài 1: Kiểm tra nghiệm

Cặp số $(2, -1)$ có phải là nghiệm của bất phương trình $3x + y > 4$ không?

Thay $x=2, y=-1$ vào bất phương trình: $3(2) + (-1) > 4 \implies 5 > 4$. (Đúng).
Vậy $(2, -1)$ là một nghiệm.
Bài 2: Hệ bất phương trình đơn giản

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $$ \begin{cases} x > 1 \\ y \le 2 \end{cases} $$

1. Vẽ đường thẳng $x=1$ bằng nét đứt. Miền nghiệm của $x>1$ là nửa mặt phẳng bên phải đường thẳng này.
2. Vẽ đường thẳng $y=2$ bằng nét liền. Miền nghiệm của $y \le 2$ là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng này (kể cả bờ).
3. Miền nghiệm của hệ là phần giao của hai miền trên.

Bài tập nâng cao 🚀

Bài 3: Tìm đỉnh của miền nghiệm

Xác định miền nghiệm của hệ sau và tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm đó: $$ \begin{cases} x + 2y \le 10 \\ 3x + y \le 15 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $$

Đáp án:
Miền nghiệm là một tứ giác lồi trong góc phần tư thứ nhất.
Các đỉnh của miền nghiệm là giao điểm của các đường thẳng biên:
  • Đỉnh 1: Giao của $x=0$ và $y=0$ là $A(0, 0)$.
  • Đỉnh 2: Giao của $y=0$ và $3x+y=15$ là $B(5, 0)$.
  • Đỉnh 3: Giao của $x=0$ và $x+2y=10$ là $C(0, 5)$.
  • Đỉnh 4: Giao của $x+2y=10$ và $3x+y=15$. Giải hệ này ta được $D(4, 3)$.
Vậy các đỉnh là A(0,0), B(5,0), D(4,3), và C(0,5).