Định nghĩa & Tính chất cơ bản
1. Định nghĩa
Đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ (ký hiệu $(O; R)$) là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách điểm $O$ một khoảng không đổi bằng $R$.
- Bán kính (Radius): Khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ trên đường tròn (đoạn $OM$).
- Đường kính (Diameter): Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm (đoạn $AB$). Đường kính bằng hai lần bán kính ($d = 2R$).
- Dây cung (Chord): Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn (đoạn $CD$).
2. Các công thức quan trọng
- Chu vi (Circumference): $C = 2 \pi R$ hoặc $C = \pi d$.
- Diện tích (Area): $S = \pi R^2$.
Trong đó, $\pi$ (pi) là một hằng số toán học, xấp xỉ bằng $3.14159$.
3. Tính chất của đường kính và dây cung
- Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
- Đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính chu vi và diện tích
Một bánh xe đạp có đường kính là 60 cm. Tính chu vi và diện tích của bánh xe.
- Đường kính $d = 60$ cm, vậy bán kính $R = d/2 = 30$ cm.
- Chu vi: $C = \pi d = 60\pi$ cm. Khi bánh xe lăn một vòng, nó đi được một quãng đường bằng chu vi.
- Diện tích: $S = \pi R^2 = \pi (30)^2 = 900\pi$ cm$^2$.
Ví dụ 2: Tính chất đường kính và dây cung
Cho đường tròn $(O; 5 \text{ cm})$ và dây cung $AB = 8 \text{ cm}$. Kẻ $OH \perp AB$ tại H. Tính độ dài $OH$.
- Vì $OH \perp AB$, H là trung điểm của AB. Do đó, $AH = HB = AB/2 = 8/2 = 4$ cm.
- Xét tam giác vuông $\triangle OHA$, có $OA$ là bán kính, $OA = 5$ cm.
- Áp dụng định lý Pytago: $OA^2 = AH^2 + OH^2$.
- $5^2 = 4^2 + OH^2 \Rightarrow 25 = 16 + OH^2$.
- $OH^2 = 9 \Rightarrow OH = 3$ cm.
Sai lầm thường gặp
1. Nhầm lẫn giữa Chu vi và Diện tích
Sai lầm: Sử dụng công thức $2 \pi R$ để tính diện tích hoặc $\pi R^2$ để tính chu vi. Đây là lỗi cơ bản nhưng rất phổ biến.
Cách khắc phục: Ghi nhớ rằng diện tích luôn có đơn vị là "vuông" (cm$^2$, m$^2$), tương ứng với công thức có $R^2$. Chu vi là độ dài, có đơn vị là cm, m.
2. Cho rằng mọi dây cung đều bị đường kính chia đôi
Sai lầm: Nghĩ rằng bất kỳ đường kính nào cũng chia đôi một dây cung bất kỳ.
Thực tế: Tính chất này chỉ đúng khi đường kính đó vuông góc với dây cung. Một đường kính không vuông góc sẽ không đi qua trung điểm của dây cung (trừ khi dây cung đó cũng là một đường kính khác).
Bài tập
Bài tập cơ bản
Bài 1: Một cái đĩa hình tròn có diện tích là $144\pi$ cm$^2$. Hỏi chu vi của cái đĩa đó là bao nhiêu?
Hiện đáp ánTa có công thức diện tích: $S = \pi R^2$.
$144\pi = \pi R^2 \Rightarrow R^2 = 144 \Rightarrow R = 12$ cm.
Chu vi của đĩa là: $C = 2 \pi R = 2 \pi (12) = 24\pi$ cm.
Bài tập nâng cao
Bài 2: Cho hai đường tròn $(O; 5 \text{ cm})$ và $(O'; 3 \text{ cm})$ cắt nhau tại hai điểm A và B. Đoạn nối tâm $OO'$ cắt AB tại I. Biết $AB = 4.8$ cm. Chứng minh rằng $OO'$ vuông góc với $AB$ và tính độ dài đoạn nối tâm $OO'$.
Hiện đáp ána) Chứng minh $OO' \perp AB$:
Xét đường tròn $(O)$: $OA = OB = 5$ cm (bán kính). Do đó, điểm O cách đều A và B.
Xét đường tròn $(O')$: $O'A = O'B = 3$ cm (bán kính). Do đó, điểm O' cũng cách đều A và B.
Một điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Vì cả O và O' đều cách đều A và B, nên $OO'$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Theo định nghĩa đường trung trực, $OO' \perp AB$ tại trung điểm I của AB.
b) Tính độ dài $OO'$:
Vì I là trung điểm của AB, ta có $AI = AB/2 = 4.8/2 = 2.4$ cm.
Xét tam giác vuông $\triangle OIA$ (vuông tại I):
$OI^2 = OA^2 - AI^2 = 5^2 - (2.4)^2 = 25 - 5.76 = 19.24$.
$OI = \sqrt{19.24} \approx 4.386$ cm.
Xét tam giác vuông $\triangle O'IA$ (vuông tại I):
$O'I^2 = O'A^2 - AI^2 = 3^2 - (2.4)^2 = 9 - 5.76 = 3.24$.
$O'I = \sqrt{3.24} = 1.8$ cm.
Độ dài đoạn nối tâm $OO'$ là tổng của $OI$ và $O'I$ (vì O và O' nằm khác phía so với dây chung AB).
$OO' = OI + O'I \approx 4.386 + 1.8 = 6.186$ cm.