Định nghĩa & Tính chất
1. Định nghĩa
Số phức (Complex Number) là một số có dạng $z = a + bi$, trong đó:
- $a$ và $b$ là các số thực. $a$ được gọi là phần thực, $b$ được gọi là phần ảo.
- $i$ là đơn vị ảo, được định nghĩa bởi tính chất $i^2 = -1$.
Tập hợp các số phức được ký hiệu là $\mathbb{C}$.
2. Số phức liên hợp và Mô-đun
- Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $\bar{z} = a - bi$.
- Mô-đun của số phức $z = a + bi$ là một số thực không âm, được tính bởi công thức: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$ Mô-đun biểu diễn khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức.
3. Các phép toán cơ bản
Cho hai số phức $z_1 = a + bi$ và $z_2 = c + di$:
- Cộng/Trừ: $z_1 \pm z_2 = (a \pm c) + (b \pm d)i$
- Nhân: $z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
- Chia: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{z_2 \cdot \bar{z_2}} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$
Ví dụ & Dạng Lượng giác
Ví dụ 1: Thực hiện phép toán
Cho $z_1 = 2 + 3i$ và $z_2 = 1 - i$. Tính $z_1 + z_2$ và $z_1 \cdot z_2$.
Phép cộng:
$z_1 + z_2 = (2+1) + (3-1)i = 3 + 2i$.
Phép nhân:
$z_1 \cdot z_2 = (2)(1) - (3)(-1) + ((2)(-1) + (3)(1))i = (2+3) + (-2+3)i = 5 + i$.
Ví dụ 2: Dạng lượng giác (Polar Form)
Mọi số phức $z = a+bi$ đều có thể được biểu diễn ở dạng lượng giác:
$$ z = r(\cos\phi + i\sin\phi) $$Trong đó:
- $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ là mô-đun.
- $\phi$ là argument của $z$, là góc tạo bởi tia $Oz$ và chiều dương trục $Ox$.
Ví dụ: Chuyển $z = 1 + i$ sang dạng lượng giác.
Ta có $r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos\phi = \frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\sin\phi = \frac{b}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\phi = \frac{\pi}{4}$.
Vậy, $z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.
Sai lầm thường gặp
1. $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \neq \sqrt{(-a)(-b)}$
Sai lầm: Tính $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6$.
Cách tính đúng: Phải chuyển về đơn vị ảo $i$ trước. $\sqrt{-4} = \sqrt{4}i = 2i$ và $\sqrt{-9} = \sqrt{9}i = 3i$. Do đó, $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6i^2 = 6(-1) = -6$. Quy tắc $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ chỉ áp dụng khi $a, b$ không đồng thời là số thực âm.
2. Bỏ quên số phức liên hợp khi chia
Sai lầm: Khi chia $\frac{a+bi}{c+di}$, chỉ chia phần thực cho phần thực và phần ảo cho phần ảo.
Cách khắc phục: Luôn nhớ quy tắc chia số phức là nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu để làm mẫu số trở thành một số thực.
Bài tập
Bài 1 (Cơ bản): Tìm phần thực, phần ảo và tính mô-đun của số phức $z = \frac{3+2i}{1-i}$.
Hiện đáp ánBước 1: Rút gọn z
$z = \frac{3+2i}{1-i} = \frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1^2 - i^2} = \frac{3 + 5i - 2}{1+1} = \frac{1+5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.
Bước 2: Xác định các thành phần
- Phần thực: $a = \frac{1}{2}$
- Phần ảo: $b = \frac{5}{2}$
Bước 3: Tính mô-đun
$|z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{26}{4}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.
Bài 2 (Giải phương trình bậc hai): Giải phương trình sau trên tập số phức: $z^2 - 2z + 5 = 0$.
Hiện đáp ánĐây là phương trình bậc hai với hệ số thực. Ta tính biệt thức delta ($\Delta$):
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$.
Vì $\Delta < 0$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp. Căn bậc hai của $\Delta$ là:
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} = 4i$.
Hai nghiệm của phương trình là:
$z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$.
$z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$.
Bài 3 (Dạng lượng giác): Tính $(1 - i\sqrt{3})^6$.
Hiện đáp ánMẹo giải: Chuyển số phức về dạng lượng giác rồi áp dụng công thức Moivre: $[r(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.
Bước 1: Chuyển $z = 1 - i\sqrt{3}$ sang dạng lượng giác.
Mô-đun: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Argument: $\cos\phi = \frac{1}{2}$ và $\sin\phi = \frac{-\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\phi = -\frac{\pi}{3}$.
Vậy $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Bước 2: Áp dụng công thức Moivre.
$z^6 = 2^6 \left( \cos(6 \cdot -\frac{\pi}{3}) + i\sin(6 \cdot -\frac{\pi}{3}) \right) = 64(\cos(-2\pi) + i\sin(-2\pi))$.
Bước 3: Tính kết quả.
Vì $\cos(-2\pi) = 1$ và $\sin(-2\pi) = 0$, ta có: $z^6 = 64(1 + i \cdot 0) = 64$.
Bài 4 (Tập hợp điểm): Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z - 1 + 2i| = 3$.
Hiện đáp ánĐặt $z = x + yi$ (với $x, y \in \mathbb{R}$) và $M(x, y)$ là điểm biểu diễn của $z$.
Điều kiện của bài toán được viết lại là: $|(x+yi) - 1 + 2i| = 3 \Rightarrow |(x-1) + (y+2)i| = 3$.
Áp dụng công thức mô-đun, ta có:
$\sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} = 3$.
Bình phương hai vế, ta được: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$.
Đây là phương trình của một đường tròn có:
- Tâm $I(1, -2)$.
- Bán kính $R = \sqrt{9} = 3$.
Vậy, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm $I(1, -2)$ và bán kính $R=3$.
Bài 5 (Căn bậc hai của số phức): Tìm các căn bậc hai của số phức $w = -5 + 12i$.
Hiện đáp ánGiả sử $z = x+yi$ là một căn bậc hai của $w$. Khi đó $z^2 = w$.
$(x+yi)^2 = -5 + 12i \Rightarrow x^2 - y^2 + 2xyi = -5 + 12i$.
Đồng nhất phần thực và phần ảo, ta có hệ phương trình:
$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -5 & (1) \\ 2xy = 12 & (2) \end{cases} $$Từ (2), suy ra $y = \frac{6}{x}$. Thay vào (1):
$x^2 - (\frac{6}{x})^2 = -5 \Rightarrow x^2 - \frac{36}{x^2} = -5$.
Nhân hai vế với $x^2$ và đặt $t=x^2$ ($t>0$): $t^2 - \frac{36}{t} = -5 \Rightarrow t^2 + 5t - 36 = 0$.
Giải phương trình bậc hai này, ta được $t=4$ (nhận) hoặc $t=-9$ (loại).
Với $t=x^2=4$, ta có $x=2$ hoặc $x=-2$.
- Nếu $x=2$, thì $y = \frac{6}{2} = 3$. Ta có căn bậc hai thứ nhất là $z_1 = 2+3i$.
- Nếu $x=-2$, thì $y = \frac{6}{-2} = -3$. Ta có căn bậc hai thứ hai là $z_2 = -2-3i$.
Vậy, $w$ có hai căn bậc hai là $2+3i$ và $-2-3i$.