1. Định nghĩa & Dạng Đồ thị
a. Định nghĩa
Hàm số mũ có dạng tổng quát là:
$$ y = a^x $$trong đó $a$ là một hằng số dương khác 1 ($a > 0, a \neq 1$) được gọi là cơ số, và biến số $x$ nằm ở trên số mũ.
b. Khảo sát và Đồ thị
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ (x có thể là bất kỳ số thực nào).
- Tập giá trị: $T = (0, +\infty)$ (giá trị của hàm số luôn luôn dương).
- Đồ thị luôn đi qua điểm $(0, 1)$ vì $a^0 = 1$.
- Trục hoành (Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Dạng đồ thị phụ thuộc vào cơ số $a$:
Trường hợp 1: Tăng trưởng ($a > 1$)
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đồ thị đi lên từ trái sang phải. Ví dụ: $y=2^x, y=e^x$.
Trường hợp 2: Suy giảm ($0 < a < 1$)
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đồ thị đi xuống từ trái sang phải. Ví dụ: $y = (0.5)^x, y = (\frac{1}{3})^x$.
2. Tính chất & Số e
a. Các tính chất của lũy thừa
Hàm số mũ tuân theo các quy tắc của lũy thừa:
- $a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1+x_2}$
- $\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1-x_2}$
- $(a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}$
- $(ab)^x = a^x b^x$
b. Số e và Hàm mũ tự nhiên
Trong toán học và khoa học, một cơ số đặc biệt quan trọng là hằng số $e$ (số Euler).
$$ e \approx 2.71828... $$Hàm số $y = e^x$ được gọi là hàm số mũ tự nhiên. Vì $e > 1$, đây là một hàm đồng biến (hàm tăng trưởng).
3. Ví dụ Minh họa
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số đồng biến $y=2^x$
Ta lập bảng giá trị:
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y=2^x$ | $1/4$ | $1/2$ | 1 | 2 | 4 |
Nối các điểm $(-2, 1/4), (-1, 1/2), (0, 1), (1, 2), (2, 4)$ bằng một đường cong mượt, ta được đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.
Ví dụ 2: Giải phương trình mũ cơ bản
Yêu cầu: Giải phương trình $3^{x-1} = 27$.
- Đưa về cùng cơ số: Ta biết $27 = 3^3$.
- Thiết lập phương trình: $3^{x-1} = 3^3$.
- Giải số mũ: Vì cơ số bằng nhau, số mũ cũng phải bằng nhau: $x-1 = 3$.
- Kết quả: $x=4$.
4. Sai lầm thường gặp 🧐
- Nhầm lẫn hàm mũ và hàm lũy thừa: $2^x$ (hàm mũ, biến ở mũ) khác hoàn toàn với $x^2$ (hàm lũy thừa, biến ở cơ số).
- Cho rằng hàm mũ có thể nhận giá trị âm: Giá trị của $a^x$ (với $a>0$) luôn luôn dương. Phương trình $2^x = -4$ là vô nghiệm.
- Tính sai với số mũ âm: Nhầm lẫn $2^{-3}$ thành $-8$ hoặc $-6$. Cách tính đúng là $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
5. Bài tập
Bài tập cơ bản ✏️
Bài 1
Cho hàm số $f(x) = 5^{x-2}$. Tính $f(3)$ và $f(0)$.
- $f(0) = 5^{0-2} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Bài 2
Giải phương trình: $4^{x} = \frac{1}{16}$.
2. Phương trình trở thành: $4^x = 4^{-2}$.
3. Kết quả: $x=-2$.
Bài tập nâng cao 🚀
Bài 3
Giải phương trình: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$.
2. Đặt ẩn phụ: Đặt $t = 3^x$ (điều kiện $t > 0$). Phương trình trở thành $t^2 - 10t + 9 = 0$.
3. Giải phương trình bậc hai: Ta được hai nghiệm $t=1$ và $t=9$ (cả hai đều thỏa mãn $t>0$).
4. Trả lại biến cũ:
- Với $t=1 \implies 3^x = 1 \implies 3^x=3^0 \implies x=0$.
- Với $t=9 \implies 3^x = 9 \implies 3^x=3^2 \implies x=2$.
Bài 4: Bài toán Lãi kép
Một người gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm, lãi được nhập vào vốn hàng năm (lãi kép). Viết công thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) người đó nhận được sau $t$ năm và tính số tiền sau 3 năm.
- $P$: Vốn ban đầu (200 triệu)
- $r$: Lãi suất mỗi kỳ (7% = 0.07)
- $t$: Số kỳ (số năm)
- $A$: Tổng số tiền
1. Công thức: $A(t) = 200 \cdot (1 + 0.07)^t = 200 \cdot (1.07)^t$ (triệu đồng).
2. Số tiền sau 3 năm: $A(3) = 200 \cdot (1.07)^3 \approx 200 \cdot 1.225043 \approx 245.0086$ triệu đồng.