Đồ thị Hàm số Bậc hai (Parabol)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2+bx+c$

1. Định nghĩa & Đặc điểm chính

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a, b, c$ là các hằng số và $a \neq 0$. Đồ thị của nó là một đường cong gọi là Parabol.

a. Chiều của Parabol

Chiều của parabol phụ thuộc vào dấu của hệ số $a$:

  • Nếu $a > 0$: Bề lõm của parabol quay lên trên. Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (giá trị nhỏ nhất).
  • Nếu $a < 0$: Bề lõm của parabol quay xuống dưới. Đỉnh của parabol là điểm cao nhất (giá trị lớn nhất).

b. Đỉnh và Trục đối xứng

  • Đỉnh $I$ là điểm quay của parabol. Tọa độ đỉnh được tính bằng công thức: $$ I\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right) $$ với $\Delta = b^2 - 4ac$. Thực tế, ta thường tính $x_I = -\frac{b}{2a}$ rồi thay vào hàm số để tìm $y_I$.
  • Trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua đỉnh. Phương trình của trục đối xứng là $x = -\frac{b}{2a}$.

c. Giao điểm với các trục tọa độ

  • Giao với trục tung (Oy): Cho $x=0$, ta được $y=c$. Giao điểm là $(0, c)$.
  • Giao với trục hoành (Ox): Cho $y=0$, ta giải phương trình $ax^2+bx+c=0$. Số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình này.

2. Các bước vẽ Đồ thị Parabol

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh $I(-\frac{b}{2a}, y_I)$.
Bước 2: Vẽ trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$.
Bước 3: Tìm các giao điểm.
  • Giao điểm với trục Oy: điểm $(0, c)$.
  • Giao điểm với trục Ox (nếu có) bằng cách giải phương trình $ax^2+bx+c=0$.
Bước 4: Tìm thêm điểm (nếu cần).
Lấy một vài điểm thuộc parabol (ví dụ, cho $x$ một giá trị cụ thể rồi tính $y$). Sau đó lấy các điểm đối xứng qua trục đối xứng.
Bước 5: Vẽ Parabol.
Nối các điểm đã xác định bằng một đường cong mượt, chú ý đến chiều của parabol dựa vào dấu của $a$.

3. Ví dụ Minh họa

Yêu cầu: Vẽ đồ thị của hàm số $y = x^2 - 4x + 3$.

  1. Hệ số: $a=1, b=-4, c=3$. Vì $a=1 > 0$, parabol có bề lõm quay lên trên.
  2. Tọa độ đỉnh:
    • $x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$.
    • $y_I = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
    Vậy đỉnh là $I(2, -1)$.
  3. Trục đối xứng: Đường thẳng $x=2$.
  4. Giao điểm:
    • Với trục Oy: Cho $x=0 \implies y=3$. Ta có điểm $(0, 3)$.
    • Với trục Ox: Cho $y=0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$. Phương trình có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$. Ta có hai điểm $(1, 0)$ và $(3, 0)$.
  5. Điểm đối xứng: Lấy điểm đối xứng của $(0, 3)$ qua trục $x=2$ là điểm $(4, 3)$.
  6. Vẽ đồ thị: Vẽ một đường cong đi qua các điểm $I(2,-1), (1,0), (3,0), (0,3), (4,3)$.

4. Sai lầm thường gặp 🧐

  • Tính sai tọa độ đỉnh: Nhầm lẫn dấu trong công thức $x = -b/2a$.
  • Vẽ đáy parabol bị "nhọn": Đỉnh của parabol là một điểm uốn cong mượt mà, không phải là một góc nhọn.
  • Không sử dụng trục đối xứng: Vẽ các điểm ở hai bên trục đối xứng không đều nhau, làm cho đồ thị bị lệch.
  • Nhầm lẫn giữa $a>0$ và $a<0$: Vẽ parabol quay lên khi đáng lẽ phải quay xuống và ngược lại.

5. Bài tập

Bài tập cơ bản ✏️

Bài 1

Xác định tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của parabol $y = -2x^2 + 8x - 5$.

$a=-2, b=8$.
- Trục đối xứng: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = 2$.
- Hoành độ đỉnh: $x_I = 2$.
- Tung độ đỉnh: $y_I = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -8+16-5 = 3$.
- Đỉnh: $I(2, 3)$.
Bài 2

Tìm các giao điểm của parabol $y = x^2 + x - 6$ với trục hoành.

Cho $y=0$, ta giải phương trình $x^2+x-6=0$.
Phân tích thành $(x+3)(x-2)=0$.
Nghiệm là $x=-3$ và $x=2$.
Vậy các giao điểm là $(-3, 0)$ và $(2, 0)$.

Bài tập nâng cao 🚀

Bài 3

Tìm hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$ biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm $A(1, 4)$ và có đỉnh là $I(-1, -4)$.

1. Từ đỉnh $I(-1, -4)$, ta có: $-\frac{b}{2a} = -1 \implies b=2a \quad (1)$.
2. Đồ thị đi qua đỉnh $I(-1, -4)$: $-4 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies -4 = a - b + c \quad (2)$.
3. Đồ thị đi qua $A(1, 4)$: $4 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 4 = a + b + c \quad (3)$.
4. Thay (1) vào (2) và (3):
  • $-4 = a - 2a + c \implies -4 = -a + c$
  • $4 = a + 2a + c \implies 4 = 3a + c$
5. Giải hệ 2 ẩn này: Lấy PT dưới trừ PT trên ta được $8 = 4a \implies a=2$.
6. Từ $a=2$, suy ra $b=2(2)=4$. Từ $-4=-a+c$, suy ra $c = a-4=2-4=-2$.
7. Vậy hàm số là $y=2x^2+4x-2$.