Bất đẳng thức & Bất phương trình

a. Quy tắc cộng, trừ

Khi cộng hoặc trừ cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu $a < b$ thì $a+c < b+c$.

Ví dụ: $x - 3 > 5 \iff x > 5 + 3 \iff x > 8$.

b. Quy tắc nhân, chia

Quy tắc này có hai trường hợp và cần đặc biệt lưu ý:

1. Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số DƯƠNG, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều.
   Nếu $a < b$ và $c > 0$, thì $ac < bc$.
2. Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số ÂM, ta phải ĐẢO CHIỀU bất đẳng thức.
   Nếu $a < b$ và $c < 0$, thì $ac > bc$.

Ví dụ 1 (Số dương): $3x \le 12 \iff x \le \frac{12}{3} \iff x \le 4$. (Chiều $\le$ được giữ nguyên).

Ví dụ 2 (Số âm): $-2x < 10 \iff x > \frac{10}{-2} \iff x > -5$. (Chiều $<$ đổi thành $>$).

Ví dụ 1: Bất phương trình tuyến tính cơ bản

Giải bất phương trình: $3x - 7 < 8$

1. Dùng quy tắc cộng để chuyển $-7$ sang vế phải: $3x < 8 + 7$.
2. Thu gọn: $3x < 15$.
3. Dùng quy tắc chia cho số dương (3), giữ nguyên chiều: $x < \frac{15}{3}$.
4. Kết quả: $x < 5$.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình có chứa số âm

Giải bất phương trình: $21 - 4x \ge 5$

1. Chuyển 21 sang vế phải: $-4x \ge 5 - 21$.
2. Thu gọn: $-4x \ge -16$.
3. Chia cả hai vế cho -4 và đảo chiều bất phương trình (từ $\ge$ thành $\le$): $x \le \frac{-16}{-4}$.
4. Kết quả: $x \le 4$.