Các bước chung để giải một bài toán bằng cách lập phương trình
Giải toán bằng cách lập phương trình là một kỹ năng quan trọng, giúp chuyển đổi các tình huống thực tế sang ngôn ngữ toán học. Quy trình chung gồm 3 bước:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn: Đọc kỹ đề bài để xác định đại lượng chưa biết cần tìm và đặt nó là ẩn (thường là $x$). Điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế (ví dụ: vận tốc phải lớn hơn 0, số người phải là số nguyên dương).
- Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn: Dựa vào các mối quan hệ trong bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại thông qua ẩn $x$.
- Lập phương trình: Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập một phương trình.
Sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương (chuyển vế, nhân/chia) để tìm ra nghiệm của phương trình vừa lập ở Bước 1.
- Kiểm tra nghiệm: Đối chiếu nghiệm vừa tìm được với điều kiện đặt ra cho ẩn ở Bước 1. Nếu nghiệm thỏa mãn, ta nhận. Nếu không, ta loại.
- Kết luận: Dựa vào giá trị của ẩn đã nhận, trả lời câu hỏi mà bài toán yêu cầu.
Ví dụ các dạng toán thường gặp
a. Dạng toán Chuyển động
Bài toán: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau đó, ô tô đi từ B về A với vận tốc 50 km/h. Tổng thời gian cả đi và về là 4 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
Phân tích và giải:
- Bước 1: Lập phương trình
- Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện: $x > 0$.
- Thời gian đi từ A đến B: $t_{đi} = \frac{x}{40}$ (giờ).
- Thời gian đi từ B về A: $t_{về} = \frac{x}{50}$ (giờ).
- Đổi 4 giờ 30 phút = 4.5 giờ.
- Phương trình: $t_{đi} + t_{về} = 4.5 \implies \frac{x}{40} + \frac{x}{50} = 4.5$.
- Bước 2: Giải phương trình
- $\frac{5x + 4x}{200} = 4.5 \implies \frac{9x}{200} = 4.5$
- $9x = 4.5 \times 200 \implies 9x = 900 \implies x = 100$.
- Bước 3: Trả lời
- Giá trị $x=100$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
- Vậy, quãng đường AB dài 100 km.
b. Dạng toán Năng suất - Công việc
Bài toán: Một đội công nhân dự định sửa một đoạn đường trong 10 ngày. Nhưng khi thực hiện, mỗi ngày đội đều làm vượt mức 20m so với kế hoạch, nên đã hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày. Hỏi đoạn đường dài bao nhiêu mét?
Phân tích và giải:
- Bước 1: Lập phương trình
- Gọi chiều dài đoạn đường là $x$ (m). ĐK: $x > 0$.
- Năng suất dự định: $\frac{x}{10}$ (m/ngày).
- Thời gian thực tế: $10 - 2 = 8$ (ngày).
- Năng suất thực tế: $\frac{x}{8}$ (m/ngày).
- Phương trình (năng suất thực tế hơn dự định 20m/ngày): $\frac{x}{8} - \frac{x}{10} = 20$.
- Bước 2: Giải phương trình
- $\frac{5x - 4x}{40} = 20 \implies \frac{x}{40} = 20 \implies x = 800$.
- Bước 3: Trả lời
- Giá trị $x=800$ thỏa mãn điều kiện.
- Vậy, đoạn đường dài 800 m.
Sai lầm thường gặp khi giải toán 🧐
- Chọn ẩn và đặt điều kiện sai: Ví dụ, bài toán hỏi tuổi người thì tuổi phải là số nguyên dương, hỏi vận tốc thì vận tốc phải lớn hơn 0. Đặt điều kiện sai hoặc thiếu sẽ dẫn đến nhận cả nghiệm không hợp lý.
- Lập sai phương trình: Nhầm lẫn các công thức ($S=v/t$ thay vì $S=v \cdot t$) hoặc thiết lập sai mối quan hệ giữa các đại lượng. Đây là lỗi nghiêm trọng nhất.
- Không đổi đơn vị: Bài toán cho thời gian là "giờ" và "phút" nhưng không đổi tất cả về cùng một đơn vị (ví dụ: 1 giờ 30 phút phải đổi thành 1.5 giờ).
- Giải xong phương trình nhưng quên kết luận: Tìm ra $x$ mới chỉ là một phần của bài toán. Cần phải đối chiếu với điều kiện và trả lời đúng câu hỏi mà đề bài đưa ra.
Bài tập luyện tập
Bài tập cơ bản ✏️
Bài 1
Tổng của hai số là 80. Số thứ nhất lớn hơn số thứ hai là 10. Tìm hai số đó.
- Gọi số thứ hai là $x$.
- Số thứ nhất là $x+10$.
- Phương trình: $x + (x+10) = 80 \implies 2x = 70 \implies x=35$.
- Số thứ hai là 35. Số thứ nhất là $35+10=45$.
Bài 2
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài đi 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì chu vi không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu.
- Gọi chiều rộng là $x$ (m), ĐK: $x>0$. Chiều dài là $x+5$.
- Chu vi ban đầu: $2(x + x+5) = 2(2x+5)$.
- Chiều rộng mới: $x+2$. Chiều dài mới: $(x+5)-3 = x+2$.
- Chu vi mới: $2(x+2 + x+2) = 2(2x+4)$.
- Phương trình (chu vi không đổi): $2(2x+5) = 2(2x+4) \implies 2x+5=2x+4 \implies 5=4$.
- Phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu. (Đây là một ví dụ về bài toán vô nghiệm).
Bài tập nâng cao 🚀
Bài 3
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ sẽ đầy. Nếu chỉ mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ và vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì chỉ được 2/5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
- Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là $x$ giờ, vòi 2 là $y$ giờ (ĐK: $x, y > 0$).
- Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi 2 chảy được $\frac{1}{y}$ bể.
- Ta có hệ phương trình:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad (*) \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5} \quad (**) \end{cases} $
- Đặt $u=1/x, v=1/y$. Hệ trở thành: $u+v=1/6$ và $2u+3v=2/5$.
- Giải hệ này ta được $u=1/10, v=1/15$.
- Suy ra $x=10, y=15$.
- Vòi 1 chảy một mình hết 10 giờ, vòi 2 chảy một mình hết 15 giờ.