Lược đồ Horner (Phép chia tổng hợp)

Một thuật toán nhanh để chia đa thức

1. Giới thiệu

Lược đồ Horner là một thuật toán hiệu quả để thực hiện phép chia một đa thức $P(x)$ cho một nhị thức có dạng $(x-c)$.

2. Các bước thực hiện

  1. Bước 1: Chuẩn bị bảng: Viết các hệ số của đa thức (kể cả hệ số 0 cho bậc bị khuyết) và giá trị $c$ từ số chia $(x-c)$.
  2. Bước 2: Bắt đầu: Hạ hệ số đầu tiên xuống hàng kết quả.
  3. Bước 3: Lặp lại "Nhân ngang, cộng chéo".
  4. Bước 4: Đọc kết quả: Số cuối cùng là số dư, các số còn lại là hệ số của đa thức thương.

3. Ví dụ Minh họa (chia cho $x-c$)

Ví dụ 1: Phép chia cơ bản

Yêu cầu: Chia $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5$ cho $(x-3)$.

  1. Chuẩn bị: Hệ số của $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 0x + 5$ là $2, -7, 0, 5$. Số chia là $(x-3)$ nên $c=3$.
  2. Thực hiện phép chia:
    32-705
    6-3-9
    2-1-3-4

    Diễn giải từng bước: Hạ 2; $3 \times 2 + (-7) = -1$; $3 \times (-1) + 0 = -3$; $3 \times (-3) + 5 = -4$.

  3. Kết luận: Thương là $2x^2 - x - 3$ và số dư là $-4$.

Ví dụ 2 (Đa thức khuyết bậc)

Yêu cầu: Chia $P(x) = x^4 - 8x^2 + 16$ cho $(x+2)$.

  1. Chuẩn bị: Hệ số của $P(x) = x^4 + 0x^3 - 8x^2 + 0x + 16$ là $1, 0, -8, 0, 16$. Số chia là $(x+2)$ nên $c=-2$.
  2. Thực hiện phép chia:
    -210-8016
    -248-16
    1-2-480
  3. Kết luận: Thương là $x^3 - 2x^2 - 4x + 8$ và số dư là $0$.

4. Mở rộng: Chia cho nhị thức dạng $(ax-c)$

  1. Bước 1: Tìm nghiệm của số chia: $k = \frac{c}{a}$.
  2. Bước 2: Áp dụng Lược đồ Horner với $k$.
  3. Bước 3: Điều chỉnh kết quả:
    • Số dư giữ nguyên.
    • Đa thức thương cuối cùng bằng thương trung gian chia cho $a$.

Ví dụ 1

Yêu cầu: Tìm thương và số dư của phép chia $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 7x - 4$ cho $(2x-1)$.

  1. Nghiệm số chia: $2x-1=0 \implies x = \frac{1}{2}$.
  2. Áp dụng Horner với $k=1/2$: Hệ số $2, -3, 7, -4$.
    1/22-37-4
    1-13
    2-26-1
  3. Điều chỉnh kết quả:
    • Số dư là **-1**.
    • Thương cuối cùng là $Q(x) = \frac{2x^2 - 2x + 6}{2} = \boldsymbol{x^2 - x + 3}$.

Ví dụ 2 (Trường hợp chia hết)

Yêu cầu: Chia đa thức $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 2x + 3$ cho $(2x-3)$.

  1. Nghiệm số chia: $2x-3=0 \implies x = \frac{3}{2}$. Vậy ta dùng $k=3/2$.
  2. Áp dụng Horner:
    3/22-3-23
    30-3
    20-20
  3. Điều chỉnh kết quả:
    • Số dư là **0**.
    • Thương cuối cùng là $Q(x) = \frac{2x^2 + 0x - 2}{2} = \boldsymbol{x^2 - 1}$.

5. Sai lầm thường gặp 🧐

  • Quên viết hệ số 0 cho các bậc bị khuyết.
  • Nhầm lẫn dấu của $c$: Khi chia cho $(x+a)$, thì $c=-a$.
  • Khi chia cho $(ax-c)$: Quên chia thương trung gian cho $a$.

6. Bài tập

Bài tập cơ bản ✏️

Bài 1: Phép chia cơ bản

Dùng lược đồ Horner, tìm thương và số dư của phép chia $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ cho $(x-2)$.

  1. Chuẩn bị: Hệ số là $1, 2, -5, -6$. Số chia $c=2$.
  2. Tính toán: Hàng kết quả là $1, 4, 3, 0$.
  3. Kết luận: Thương là $x^2 + 4x + 3$ và số dư là $0$.
Bài 2: Tính giá trị đa thức

Dùng lược đồ Horner, tính giá trị của $P(x) = 3x^4 - x^3 + 2x - 10$ tại $x = -2$.

  1. Chuẩn bị: Chia cho $(x+2)$ (với $c=-2$). Hệ số là $3, -1, 0, 2, -10$.
  2. Tính toán: Hàng kết quả là $3, -7, 14, -26, 42$.
  3. Kết luận: Số dư là 42. Vậy $P(-2)=42$.

Bài tập nâng cao 🚀

Bài 3: Phân tích thành nhân tử

Biết $x=1$ là một nghiệm của $P(x) = x^3 - 7x + 6$. Hãy dùng lược đồ Horner để phân tích $P(x)$ thành nhân tử.

  1. Chia cho $(x-1)$: Hệ số là $1, 0, -7, 6$. $c=1$.
  2. Kết quả Horner: Thương là $x^2+x-6$, số dư là 0.
  3. Phân tích: $P(x) = (x-1)(x^2+x-6) = (x-1)(x-2)(x+3)$.
Bài 4: Bài tập phần Mở rộng

Tìm thương và số dư của phép chia $4x^3 - 2x^2 + 8x + 2$ cho $(2x+1)$.

  1. Nghiệm số chia: $x=-1/2$. Hệ số $a=2$.
  2. Áp dụng Horner với $k=-1/2$: Hàng kết quả trung gian là $4, -4, 10, -3$.
  3. Kết luận:
    • Số dư là -3.
    • Thương cuối cùng: $\frac{4x^2-4x+10}{2} = 2x^2 - 2x + 5$.