Các dạng phương trình đường tròn
1. Dạng chính tắc
Phương trình đường tròn tâm $I(a, b)$ và bán kính $R$ có dạng:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $$Đây là dạng phương trình cơ bản và quan trọng nhất, cho thấy rõ tâm và bán kính của đường tròn.
- Tâm: $I(a, b)$
- Bán kính: $R = \sqrt{R^2}$
2. Dạng tổng quát
Khai triển phương trình dạng chính tắc, ta có dạng tổng quát:
$$ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 $$Trong đó, $c = a^2 + b^2 - R^2$.
Điều kiện để là phương trình đường tròn: Một phương trình có dạng trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2 + b^2 - c > 0$.
- Tâm: $I(a, b)$
- Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$
Ví dụ & Ứng dụng
Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn
Viết phương trình đường tròn có tâm $I(2, -3)$ và bán kính $R=4$.
Áp dụng công thức dạng chính tắc $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ với $a=2, b=-3, R=4$:
$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2$
$$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 $$Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính từ phương trình tổng quát
Cho phương trình đường tròn: $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$. Tìm tâm và bán kính.
So sánh với dạng tổng quát $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$, ta có:
- $-2a = 4 \Rightarrow a = -2$
- $-2b = -6 \Rightarrow b = 3$
- $c = -3$
Kiểm tra điều kiện: $a^2 + b^2 - c = (-2)^2 + 3^2 - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0$. Vậy đây là phương trình đường tròn.
- Tâm: $I(a, b) = I(-2, 3)$
- Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{16} = 4$
Sai lầm thường gặp
1. Sai dấu khi xác định tâm
Sai lầm: Với phương trình $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$, kết luận tâm là $I(-2, 3)$ hoặc $I(2, 3)$.
Cách khắc phục: Luôn nhớ rằng công thức là $(x-a)^2$ và $(y-b)^2$. Do đó, tọa độ tâm luôn có dấu ngược lại với các hằng số trong ngoặc. $(x-2)$ cho $a=2$, và $(y+3) = (y-(-3))$ cho $b=-3$. Tâm đúng là $I(2, -3)$.
2. Quên bình phương bán kính
Sai lầm: Viết phương trình $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R$ thay vì $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Ví dụ, với bán kính $R=3$, viết vế phải là 3 thay vì 9.
Cách khắc phục: Luôn tự nhẩm "vế phải là R bình phương" khi viết phương trình.
3. Không kiểm tra điều kiện của phương trình tổng quát
Sai lầm: Bất kỳ phương trình nào có dạng $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ cũng được coi là phương trình đường tròn.
Thực tế: Phải luôn kiểm tra điều kiện $a^2 + b^2 - c > 0$ (hoặc $D^2 + E^2 - 4F > 0$). Nếu điều kiện này không thỏa mãn, đó không phải là phương trình đường tròn (có thể là một điểm hoặc một tập rỗng).
Bài tập
Bài tập cơ bản
Bài 1: Viết phương trình đường tròn có đường kính là đoạn thẳng AB với $A(1, 1)$ và $B(5, 3)$.
Hiện đáp ánBước 1: Tìm tâm I
Tâm I là trung điểm của AB. Tọa độ của I là:
$I\left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = I(3, 2)$.
Bước 2: Tìm bán kính R
Bán kính R là khoảng cách từ I đến A (hoặc I đến B):
$R = IA = \sqrt{(1-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
Bước 3: Viết phương trình
Phương trình đường tròn là: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2$.
$$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5 $$Bài tập nâng cao
Bài 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, và $C(1, -3)$.
Hiện đáp ánCách 1: Tìm giao điểm các đường trung trực
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao điểm của các đường trung trực. Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A (vì AB và AC vuông góc), nên tâm I là trung điểm của cạnh huyền BC.
Tọa độ tâm I: $I\left(\frac{5+1}{2}, \frac{2+(-3)}{2}\right) = I\left(3, -\frac{1}{2}\right)$.
Bán kính R là khoảng cách từ I đến A:
$R = IA = \sqrt{(1-3)^2 + (2-(-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{16+25}{4}} = \sqrt{\frac{41}{4}}$.
Phương trình đường tròn: $(x - 3)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{41}{4}$.
Cách 2: Dùng phương trình tổng quát
Giả sử phương trình có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào, ta được hệ phương trình:
- A(1, 2): $1^2 + 2^2 - 2a(1) - 2b(2) + c = 0 \Rightarrow 5 - 2a - 4b + c = 0$
- B(5, 2): $5^2 + 2^2 - 2a(5) - 2b(2) + c = 0 \Rightarrow 29 - 10a - 4b + c = 0$
- C(1, -3): $1^2 + (-3)^2 - 2a(1) - 2b(-3) + c = 0 \Rightarrow 10 - 2a + 6b + c = 0$
Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn này, ta tìm được $a=3, b=-1/2, c=-15/2$.
Vậy phương trình là $x^2 + y^2 - 6x + y - \frac{15}{2} = 0$.