Định nghĩa Xác suất
Xác suất là một ngành của toán học đo lường khả năng xảy ra của một sự kiện (biến cố). Giá trị của xác suất luôn nằm trong đoạn từ 0 đến 1.
- Một biến cố có xác suất bằng 0 được gọi là biến cố không thể (chắc chắn không xảy ra).
- Một biến cố có xác suất bằng 1 được gọi là biến cố chắc chắn (chắc chắn sẽ xảy ra).
Theo định nghĩa cổ điển, xác suất của một biến cố A, ký hiệu là $P(A)$, được tính bằng công thức khi các kết quả có cùng khả năng xảy ra:
$$ P(A) = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{n(A)}{n(\Omega)} $$Trong đó:
- $n(A)$ là số phần tử của biến cố A (số trường hợp thuận lợi).
- $n(\Omega)$ là số phần tử của không gian mẫu (tổng số trường hợp có thể).
Các tính chất cơ bản
Với mọi biến cố A và B trong cùng một không gian mẫu:
- $0 \le P(A) \le 1$
- $P(\emptyset) = 0$ (Xác suất của biến cố không thể)
- $P(\Omega) = 1$ (Xác suất của biến cố chắc chắn)
- Công thức cộng xác suất: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Nếu A và B xung khắc (giao của chúng là rỗng), thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
- Biến cố đối: Gọi $\bar{A}$ là biến cố đối của A. Ta có $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
- Công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Nếu A và B độc lập (việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia), thì $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối
Tìm xác suất để mặt trên có số chấm lớn hơn 4.
- Không gian mẫu: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, suy ra $n(\Omega) = 6$.
- Biến cố A: "mặt trên có số chấm lớn hơn 4". Các kết quả thuận lợi là $A = \{5, 6\}$, suy ra $n(A) = 2$.
- Xác suất của A: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ví dụ 2: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá
Tìm xác suất rút được một lá màu đỏ (Cơ hoặc Rô).
- Không gian mẫu: $n(\Omega) = 52$.
- Biến cố B: "rút được lá màu đỏ". Có 13 lá Cơ và 13 lá Rô, tổng cộng 26 lá đỏ. Vậy $n(B) = 26$.
- Xác suất của B: $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
Sai lầm thường gặp
1. Ngụy biện của người chơi cờ bạc (Gambler's Fallacy)
Sai lầm: Tin rằng nếu một sự kiện ngẫu nhiên đã xảy ra lặp đi lặp lại (ví dụ: gieo 5 lần đều ra mặt sấp), thì kết quả ngược lại (mặt ngửa) có nhiều khả năng xảy ra hơn ở lần tiếp theo để "cân bằng" lại.
Thực tế: Mỗi lần gieo là một sự kiện độc lập. Xác suất ra mặt ngửa ở mỗi lần gieo luôn là $1/2$, không phụ thuộc vào kết quả trước đó.
2. Bỏ qua xác suất có điều kiện (Nghịch lý Simpson)
Sai lầm: Kết hợp các nhóm dữ liệu mà không xem xét các biến tiềm ẩn có thể dẫn đến kết luận sai lầm. Một xu hướng xuất hiện trong các nhóm riêng lẻ có thể biến mất hoặc đảo ngược khi các nhóm được kết hợp.
Thực tế: Cần phải cẩn thận khi phân tích dữ liệu tổng hợp và nên xem xét các yếu tố có thể ảnh hưởng đến từng nhóm con.
Bài tập cơ bản
Bài 1: Trong một chiếc hộp có 10 quả bóng, bao gồm 4 quả màu xanh và 6 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất để quả bóng lấy ra có màu xanh.
Hiện đáp ánTổng số bóng là 10. Số bóng xanh là 4.
Xác suất lấy được bóng xanh là: $P(\text{Xanh}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0.4$.
Bài 2: Gieo hai đồng xu cân đối. Tính xác suất để có ít nhất một mặt ngửa.
Hiện đáp ánCác kết quả có thể xảy ra: {Sấp-Sấp, Sấp-Ngửa, Ngửa-Sấp, Ngửa-Ngửa}. Tổng cộng có 4 kết quả.
Các kết quả có ít nhất một mặt ngửa: {Sấp-Ngửa, Ngửa-Sấp, Ngửa-Ngửa}. Có 3 kết quả thuận lợi.
Xác suất là: $P(\text{Ít nhất 1 ngửa}) = \frac{3}{4}$.
Cách khác (dùng biến cố đối): Biến cố đối là "Không có mặt ngửa nào" (tức là cả hai đều sấp). Xác suất của biến cố đối là $1/4$. Vậy xác suất cần tìm là $1 - 1/4 = 3/4$.
Bài tập nâng cao
Bài 1 (Bài toán ngày sinh nhật): Trong một nhóm có 23 người. Giả sử ngày sinh của mọi người phân bố đều trong 365 ngày của năm (bỏ qua năm nhuận). Tính xác suất để có ít nhất hai người trong nhóm có cùng ngày sinh nhật.
Hiện đáp ánTa tính xác suất của biến cố đối: A = "Không có ai có cùng ngày sinh nhật".
Người thứ nhất có 365 lựa chọn. Người thứ hai còn 364, người thứ ba còn 363,... người thứ 23 còn $365-22=343$ lựa chọn.
Tổng số cách chọn ngày sinh cho 23 người: $n(\Omega) = 365^{23}$.
Số cách chọn để không ai trùng ngày sinh: $n(A) = 365 \times 364 \times \dots \times 343 = P_{365}^{23}$.
Xác suất của biến cố đối: $P(A) = \frac{P_{365}^{23}}{365^{23}} \approx 0.4927$.
Vậy xác suất để có ít nhất hai người cùng ngày sinh là: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) \approx 1 - 0.4927 = 0.5073$.
Kết quả là hơn 50%, một con số cao bất ngờ!
Bài 2 (Bài toán Monty Hall): Bạn tham gia một game show với 3 cánh cửa. Sau một cửa là ô tô, hai cửa còn lại là con dê. Bạn chọn cửa số 1. Người dẫn chương trình (biết rõ sau cửa nào có gì) mở cửa số 3, cho thấy có một con dê. Họ hỏi bạn: "Bạn có muốn đổi sang cửa số 2 không?". Bạn có nên đổi không?
Hiện đáp ánCó, bạn nên đổi. Việc đổi cửa sẽ tăng gấp đôi cơ hội thắng của bạn.
- Chiến lược không đổi: Bạn thắng chỉ khi bạn chọn đúng cửa có ô tô ngay từ đầu. Xác suất này là $1/3$.
- Chiến lược đổi:
- Nếu ban đầu bạn chọn đúng cửa có ô tô (xác suất $1/3$), việc đổi sẽ khiến bạn thua.
- Nếu ban đầu bạn chọn sai cửa (chọn phải cửa có dê, xác suất $2/3$), người dẫn chương trình sẽ mở cánh cửa có con dê còn lại. Cánh cửa cuối cùng mà bạn chưa chọn chắc chắn là cửa có ô tô. Do đó, nếu bạn đổi, bạn sẽ thắng.
Vì vậy, xác suất thắng khi đổi lựa chọn là $2/3$, trong khi xác suất thắng nếu giữ nguyên chỉ là $1/3$.