Tỉ số (Ratio)
Tỉ số là sự so sánh độ lớn giữa hai đại lượng cùng loại và cùng đơn vị đo.
Định nghĩa & Tính chất
Tỉ số của hai số $a$ và $b$ (với $b \neq 0$) là thương của phép chia $a$ cho $b$, ký hiệu là $a:b$ hoặc $\frac{a}{b}$.
- Tỉ số không có đơn vị.
- Thứ tự của các số trong tỉ số rất quan trọng. Tỉ số $a:b$ khác với $b:a$.
- Tỉ số thường được rút gọn về dạng tối giản. Ví dụ: tỉ số $10:15$ được rút gọn thành $2:3$.
Ví dụ minh họa
Ví dụ: Trong một rổ có 8 quả cam và 6 quả chanh. Tìm tỉ số giữa số quả cam và số quả chanh.
Giải: Tỉ số là $8:6$. Rút gọn tỉ số này bằng cách chia cả hai số cho ước chung lớn nhất của chúng (là 2), ta được tỉ số tối giản là $4:3$.
Bài tập
Bài 1 (Cơ bản)
Một lớp học có 15 nam và 20 nữ. Viết tỉ số của số học sinh nam so với số học sinh nữ dưới dạng tối giản.
Tỉ số nam so với nữ là $15:20$.
Chia cả hai vế cho 5, ta được tỉ số tối giản là $3:4$.
Bài 2 (Nâng cao) 🚀
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 80m. Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là 3:2. Tính diện tích của mảnh đất đó.
Đây là dạng bài toán "Tổng và Tỉ".
1. Tìm tổng: Nửa chu vi (tổng chiều dài và chiều rộng) là: $80 \div 2 = 40$ m.
2. Tìm tổng số phần bằng nhau: $3 + 2 = 5$ phần.
3. Tìm giá trị một phần: $40 \div 5 = 8$ m.
4. Tìm chiều dài và chiều rộng:
- Chiều dài (3 phần) là: $8 \times 3 = 24$ m.
- Chiều rộng (2 phần) là: $8 \times 2 = 16$ m.
Tỉ suất (Rate)
Tỉ suất là một dạng đặc biệt của tỉ số, dùng để so sánh hai đại lượng có đơn vị đo khác nhau.
Định nghĩa & Tính chất
Khi một tỉ suất được biểu diễn dưới dạng "mẫu số là 1", nó được gọi là suất đơn vị (unit rate). Suất đơn vị giúp việc so sánh trở nên dễ dàng hơn.
- Tỉ suất luôn đi kèm với đơn vị (ví dụ: km/h, đ/kg).
- Cách tính suất đơn vị: chia tử số cho mẫu số.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một ô tô đi được 120 km trong 2 giờ. Tỉ suất ở đây là $\frac{120 \text{ km}}{2 \text{ giờ}}$.
Ví dụ 2 (Suất đơn vị): Để tìm suất đơn vị (vận tốc), ta chia tử cho mẫu: $120 \div 2 = 60$. Vậy suất đơn vị là 60 km/giờ.
Bài tập
Bài 1 (Cơ bản)
Bạn mua 5 kg gạo hết 90.000 đồng. Hãy tính suất đơn vị (giá tiền cho mỗi kg gạo).
Suất đơn vị = $\frac{90.000 \text{ đồng}}{5 \text{ kg}} = 18.000$ đồng/kg.
Bài 2 (Nâng cao) 🚀
Cửa hàng A bán một lốc 6 chai nước ngọt với giá 48.000 đồng. Cửa hàng B bán một thùng 24 chai nước ngọt cùng loại với giá 180.000 đồng. Mua ở cửa hàng nào thì sẽ có giá tốt hơn (tức là suất đơn vị thấp hơn)?
Để so sánh, ta cần tính suất đơn vị (giá tiền/chai) ở mỗi cửa hàng.
1. Suất đơn vị tại cửa hàng A:
$\frac{48.000 \text{ đồng}}{6 \text{ chai}} = 8.000$ đồng/chai.
2. Suất đơn vị tại cửa hàng B:
$\frac{180.000 \text{ đồng}}{24 \text{ chai}} = 7.500$ đồng/chai.
3. So sánh: $7.500 < 8.000$.
Vậy, mua ở cửa hàng B có giá tốt hơn.
Tỉ lệ thức (Proportion)
Tỉ lệ thức là một đẳng thức (phương trình) phát biểu rằng hai tỉ số bằng nhau.
Định nghĩa & Tính chất
Nếu tỉ số $a:b$ bằng tỉ số $c:d$, ta có tỉ lệ thức: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$
Tính chất cơ bản (Tích chéo): Trong một tỉ lệ thức, tích của hai số hạng ở giữa (trung tỉ) bằng tích của hai số hạng ở ngoài (ngoại tỉ).
$$ \text{Nếu } \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \text{ thì } a \times d = b \times c $$Tính chất này rất hữu ích để kiểm tra hai tỉ số có bằng nhau không và để giải các bài toán tìm giá trị chưa biết (ẩn số).
Ví dụ minh họa
Ví dụ: Tìm giá trị của $x$ trong tỉ lệ thức sau: $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$.
Giải: Áp dụng quy tắc tích chéo, ta có:
$$ x \times 4 = 12 \times 3 $$ $$ 4x = 36 $$ $$ x = \frac{36}{4} $$ $$ x = 9 $$Sai lầm thường gặp 🧐
Nhầm lẫn thứ tự: Khi thiết lập một tỉ lệ thức, cần đảm bảo các đại lượng tương ứng được đặt ở cùng một vị trí trong cả hai tỉ số.
Ví dụ sai: Nếu 2 quả táo giá 10.000đ, hỏi 5 quả táo giá bao nhiêu (x)?
Thiết lập sai: $\frac{2 \text{ quả}}{10.000\text{đ}} = \frac{x \text{ đồng}}{5 \text{ quả}}$. (Đơn vị bị đảo ngược ở vế phải).
Thiết lập đúng: $\frac{2 \text{ quả}}{10.000\text{đ}} = \frac{5 \text{ quả}}{x \text{ đồng}}$.
Bài tập
Bài 1 (Cơ bản)
Giải tìm $x$: $\frac{5}{8} = \frac{x}{24}$.
$5 \times 24 = 8 \times x$
$120 = 8x$
$x = 15$
Bài 2 (Nâng cao) 🚀
Để pha một loại dung dịch, người ta cần dùng 3 phần axit và 5 phần nước. Nếu có 12 lít axit, cần bao nhiêu lít nước để pha dung dịch theo đúng tỉ lệ?
Gọi $x$ là số lít nước cần tìm.
Ta có tỉ lệ thức: $\frac{3 \text{ phần axit}}{5 \text{ phần nước}} = \frac{12 \text{ lít axit}}{x \text{ lít nước}}$
Áp dụng tích chéo: $3 \times x = 5 \times 12$
$3x = 60$
$x = 20$.
Vậy cần 20 lít nước.