ƒ(x) Tính giá trị & Giải phương trình Hàm số

Hai thao tác cơ bản và quan trọng nhất với hàm số

Định nghĩa & Phân biệt

Hàm số $f(x)$ là một quy tắc cho mỗi giá trị đầu vào (input) $x$ một giá trị đầu ra (output) duy nhất, ký hiệu là $f(x)$. Có hai thao tác chính với hàm số:

1. Hướng dẫn Tính giá trị của Hàm số

Phương pháp: Để tính giá trị của hàm số $f(x)$ tại một điểm $x=a$, ta chỉ cần **thay thế** tất cả các biến $x$ trong biểu thức của hàm số bằng giá trị $a$, sau đó thực hiện các phép tính để rút gọn.

Ví dụ 1: Hàm đa thức

Yêu cầu: Cho hàm số $f(x) = 2x^2 - 3x + 7$. Hãy tính $f(4)$.

  1. Viết lại hàm số, thay $x$ bằng (4):
    $f(4) = 2(4)^2 - 3(4) + 7$.
  2. Thực hiện phép tính lũy thừa:
    $f(4) = 2(16) - 3(4) + 7$.
  3. Thực hiện phép nhân:
    $f(4) = 32 - 12 + 7$.
  4. Thực hiện phép cộng/trừ:
    $f(4) = 27$.

Ví dụ 2: Tính giá trị với biểu thức

Yêu cầu: Cho hàm số $g(x) = x+5$. Hãy tính $g(a-1)$.

  1. Thay thế toàn bộ $x$ bằng biểu thức $(a-1)$:
    $g(a-1) = (a-1) + 5$.
  2. Rút gọn:
    $g(a-1) = a + 4$.

2. Hướng dẫn Giải phương trình Hàm số

Phương pháp: Để tìm $x$ khi biết $f(x)=k$, ta **thiết lập một phương trình** bằng cách cho biểu thức của hàm số bằng với giá trị $k$, sau đó giải phương trình đó để tìm $x$.

Ví dụ 1: Hàm bậc nhất

Yêu cầu: Cho hàm số $f(x) = 4x - 9$. Tìm $x$ sao cho $f(x) = 11$.

  1. Thiết lập phương trình: $4x - 9 = 11$.
  2. Giải phương trình:
    • $4x = 11 + 9$
    • $4x = 20$
    • $x = 5$
  3. Kết luận: Vậy $x=5$ thì $f(x)=11$.

Ví dụ 2: Hàm bậc hai

Yêu cầu: Cho hàm số $h(x) = x^2 - 10$. Tìm $x$ sao cho $h(x) = 15$.

  1. Thiết lập phương trình: $x^2 - 10 = 15$.
  2. Giải phương trình:
    • $x^2 = 25$
    • $x = \sqrt{25}$ hoặc $x = -\sqrt{25}$
    • $x = 5$ hoặc $x = -5$.
  3. Kết luận: Có hai giá trị của $x$ để $h(x)=15$ là $x=5$ và $x=-5$.

Sai lầm thường gặp 🧐

  • Lỗi khi thay số âm: Khi tính $f(-2)$ cho $f(x)=x^2$, nhiều người tính sai thành $-2^2 = -4$.
    Cách đúng: Phải dùng dấu ngoặc: $f(-2) = (-2)^2 = 4$.

  • Bỏ sót nghiệm: Khi giải phương trình bậc hai như $x^2=25$, thường chỉ đưa ra nghiệm $x=5$ mà quên mất nghiệm $x=-5$.

  • Lỗi tính toán cơ bản: Sai sót trong các phép cộng, trừ, nhân, chia sau khi đã thay số hoặc thiết lập phương trình đúng.

Bài tập

Bài tập cơ bản ✏️

Bài 1

Cho hàm số $g(x) = 7x - 11$. Tính $g(3)$.

$g(3) = 7(3) - 11 = 21 - 11 = 10$.
Bài 2

Cho hàm số $g(x) = 7x - 11$. Tìm $x$ biết $g(x) = 3$.

$7x - 11 = 3 \implies 7x = 14 \implies x = 2$.

Bài tập nâng cao 🚀

Bài 3

Cho hàm số $f(x) = x^2 - 4x$. Tính $f(-5)$.

$f(-5) = (-5)^2 - 4(-5) = 25 - (-20) = 25 + 20 = 45$.
Bài 4

Cho hàm số $f(x) = x^2 - 4x$. Tìm $x$ để $f(x) = 5$.

1. Thiết lập phương trình: $x^2 - 4x = 5$.
2. Đưa về phương trình bậc hai: $x^2 - 4x - 5 = 0$.
3. Phân tích thành nhân tử: $(x-5)(x+1) = 0$.
4. Kết luận: $x=5$ hoặc $x=-1$.