🧩 Hệ Phương Trình

Ví dụ: Giải hệ $\begin{cases} x + y = 5 \quad (1) \\ 2x - y = 1 \quad (2) \end{cases}$

1. Từ (1), rút $y$ theo $x$: $y = 5 - x$.
2. Thế $y = 5 - x$ vào (2): $2x - (5 - x) = 1$.
3. Giải phương trình mới: $2x - 5 + x = 1 \implies 3x = 6 \implies x = 2$.
4. Thay $x=2$ vào $y = 5 - x$, ta được $y = 5 - 2 = 3$.
5. Vậy nghiệm của hệ là $(x, y) = (2, 3)$.

Ví dụ: Giải hệ $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \quad (1) \\ 2x - 3y = -4 \quad (2) \end{cases}$

1. Nhân (1) với 3 và nhân (2) với 2 để hệ số của $y$ đối nhau: $$ \begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 4x - 6y = -8 \end{cases} $$
2. Cộng hai phương trình mới: $(9x+4x) + (6y-6y) = 21 + (-8) \implies 13x = 13 \implies x=1$.
3. Thay $x=1$ vào (1): $3(1) + 2y = 7 \implies 2y = 4 \implies y=2$.
4. Vậy nghiệm của hệ là $(x, y) = (1, 2)$.

Ví dụ: Giải hệ $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ \frac{2}{x} - \frac{3}{y} = \frac{1}{6} \end{cases}$

1. Đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$ (ĐK: $x, y \neq 0$). Hệ trở thành: $$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{2} \\ 2u - 3v = \frac{1}{6} \end{cases} $$
2. Giải hệ mới (bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số), ta tìm được $u = \frac{1}{3}, v = \frac{1}{6}$.
3. Trả lại biến cũ:
   • $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \implies x=3$.
   • $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \implies y=6$.
4. Vậy nghiệm của hệ là $(x, y) = (3, 6)$.