Định nghĩa & Tính chất
1. Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông
Lượng giác học bắt đầu với việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các góc và các cạnh của một tam giác vuông.
Với một góc nhọn $\alpha$ trong tam giác vuông:
- $\sin(\alpha) = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}}$
- $\cos(\alpha) = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}}$
- $\tan(\alpha) = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}}$
Mẹo ghi nhớ: "Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết".
2. Các hằng đẳng thức cơ bản
- $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
- $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
- $1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$
3. Định lý Sin và Cos trong tam giác thường
Với tam giác ABC có các cạnh a, b, c tương ứng với các góc A, B, C:
- Định lý Cos: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$
- Định lý Sin: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm chiều cao
Một cái cây đổ bóng dài 12 mét trên mặt đất. Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc $30^\circ$. Tìm chiều cao của cây.
Gọi $h$ là chiều cao của cây (cạnh đối) và 12 m là chiều dài bóng (cạnh kề).
Ta có: $\tan(30^\circ) = \frac{\text{Đối}}{\text{Kề}} = \frac{h}{12}$.
Biết $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, ta suy ra:
$h = 12 \times \tan(30^\circ) = 12 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ mét.
Vậy, cây cao khoảng $4 \times 1.732 \approx 6.93$ mét.
Ví dụ 2: Sử dụng hằng đẳng thức
Cho $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tìm $\cos(\alpha)$ và $\tan(\alpha)$.
Áp dụng hằng đẳng thức $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:
$\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Suy ra $\cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (góc phần tư thứ II), $\cos(\alpha)$ mang giá trị âm. Vậy $\cos(\alpha) = -\frac{4}{5}$.
Từ đó, $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
Sai lầm thường gặp
1. Sai chế độ máy tính (Degree/Radian)
Sai lầm: Tính $\sin(30)$ khi máy tính đang ở chế độ Radian, hoặc tính $\sin(\pi/6)$ khi máy tính đang ở chế độ Degree. Điều này cho ra kết quả hoàn toàn sai.
Cách khắc phục: Luôn kiểm tra chế độ của máy tính (chữ D hoặc R trên màn hình) trước khi bấm. Đảm bảo nó khớp với đơn vị của góc bạn đang tính.
2. $\sin(A+B)$ không bằng $\sin(A) + \sin(B)$
Sai lầm: Nghĩ rằng có thể "phân phối" hàm lượng giác vào trong tổng.
Thực tế: Sin, Cos, Tan là các hàm số, không phải phép nhân. Công thức đúng là công thức cộng: $\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$.
3. $\sin(2x)$ không bằng $2\sin(x)$
Sai lầm: Nghĩ rằng có thể "đưa hệ số ra ngoài" như $\sin(2x) = 2\sin(x)$.
Thực tế: Sin, Cos, Tan là các hàm số, không phải phép nhân. Công thức đúng là $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.
Bài tập
Bài 1 (Cơ bản): Một chiếc thang dài 5 mét tựa vào một bức tường. Chân thang cách chân tường 3 mét. Hỏi góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất là bao nhiêu độ? (Làm tròn đến độ gần nhất).
Hiện đáp ánTa có một tam giác vuông với:
- Cạnh huyền = chiều dài thang = 5 m.
- Cạnh kề = khoảng cách từ chân thang đến tường = 3 m.
Gọi $\alpha$ là góc cần tìm. Ta có: $\cos(\alpha) = \frac{\text{Kề}}{\text{Huyền}} = \frac{3}{5} = 0.6$.
Sử dụng máy tính để tìm góc: $\alpha = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ$.
Làm tròn đến độ gần nhất, góc đó là $53^\circ$.
Bài 2 (Rút gọn biểu thức): Rút gọn biểu thức sau: $A = \frac{\sin(2x) + \sin(x)}{1 + \cos(2x) + \cos(x)}$.
Hiện đáp ánSử dụng công thức góc nhân đôi: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ và $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.
Tử số: $\sin(2x) + \sin(x) = 2\sin(x)\cos(x) + \sin(x) = \sin(x)(2\cos(x) + 1)$.
Mẫu số: $1 + \cos(2x) + \cos(x) = 1 + (2\cos^2(x) - 1) + \cos(x) = 2\cos^2(x) + \cos(x) = \cos(x)(2\cos(x) + 1)$.
Rút gọn: $A = \frac{\sin(x)(2\cos(x) + 1)}{\cos(x)(2\cos(x) + 1)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$.
Bài 3 (Giải phương trình): Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0$ trong khoảng $[0, 2\pi]$.
Hiện đáp ánĐây là một phương trình bậc hai với ẩn là $\cos(x)$. Đặt $t = \cos(x)$, với điều kiện $-1 \le t \le 1$.
Phương trình trở thành: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Phương trình này có hai nghiệm: $t_1 = 1$ và $t_2 = \frac{1}{2}$. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 1: $\cos(x) = 1$.
Trong khoảng $[0, 2\pi]$, nghiệm là $x = 0$ và $x = 2\pi$.
Trường hợp 2: $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Trong khoảng $[0, 2\pi]$, nghiệm là $x = \frac{\pi}{3}$ và $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
Vậy, tập nghiệm của phương trình là $\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\}$.
Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Hai người quan sát A và B đứng cách nhau 500 mét trên một đường thẳng, cùng nhìn về một tòa nhà. Góc nâng từ vị trí của A lên đỉnh tòa nhà là $30^\circ$. Góc nâng từ vị trí của B lên đỉnh tòa nhà là $45^\circ$. Giả sử tòa nhà nằm giữa A và B. Tính chiều cao của tòa nhà.
Hiện đáp ánGọi H là chiều cao của tòa nhà, C là chân tòa nhà. Gọi D là đỉnh tòa nhà.
Ta có hai tam giác vuông $\triangle ACD$ và $\triangle BCD$. Đặt $AC = x$, thì $BC = 500 - x$.
Trong $\triangle ACD$: $\tan(30^\circ) = \frac{H}{AC} = \frac{H}{x} \Rightarrow x = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = H\sqrt{3}$.
Trong $\triangle BCD$: $\tan(45^\circ) = \frac{H}{BC} = \frac{H}{500-x} \Rightarrow 500-x = \frac{H}{\tan(45^\circ)} = H$.
Ta có hệ hai phương trình:
- $x = H\sqrt{3}$
- $x = 500 - H$
Từ đó, $H\sqrt{3} = 500 - H \Rightarrow H(\sqrt{3} + 1) = 500$.
$H = \frac{500}{\sqrt{3} + 1} = \frac{500(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{500(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 250(\sqrt{3}-1)$ mét.
Vậy chiều cao tòa nhà là $H \approx 250 \times (1.732 - 1) \approx 183$ mét.