Định nghĩa & Công thức
1. Định nghĩa
Thể tích (Volume) là lượng không gian mà một vật thể chiếm giữ. Nó là một đại lượng đo lường ba chiều, có đơn vị là mét khối (m³), centimet khối (cm³), lít (L),...
2. Công thức thể tích các hình khối cơ bản
- Hình lập phương: Cạnh $a$ $$ V = a^3 $$
- Hình hộp chữ nhật: Các cạnh $a, b, c$ $$ V = a \cdot b \cdot c $$
- Hình trụ: Bán kính đáy $R$, chiều cao $h$ $$ V = \pi R^2 h $$
- Hình nón: Bán kính đáy $R$, chiều cao $h$ $$ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h $$
- Hình cầu: Bán kính $R$ $$ V = \frac{4}{3} \pi R^3 $$
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Thể tích bể bơi
Một bể bơi hình hộp chữ nhật có chiều dài 25 m, chiều rộng 10 m và sâu 2 m. Tính thể tích của bể bơi.
Áp dụng công thức thể tích hình hộp chữ nhật:
$V = \text{dài} \times \text{rộng} \times \text{cao} = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m³.
Biết rằng 1 m³ = 1000 lít, vậy bể bơi có thể chứa $500 \times 1000 = 500,000$ lít nước.
Ví dụ 2: Thể tích kem ốc quế
Một cây kem ốc quế có phần vỏ hình nón với bán kính miệng là 3 cm và chiều cao 10 cm. Tính thể tích của vỏ kem.
Áp dụng công thức thể tích hình nón:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (3^2) (10) = \frac{1}{3} \pi (9)(10) = 30\pi$ cm³.
Thể tích của vỏ kem xấp xỉ $30 \times 3.14 \approx 94.2$ cm³.
Sai lầm thường gặp
1. Nhầm lẫn giữa Diện tích và Thể tích
Sai lầm: Dùng đơn vị của diện tích (m²) cho thể tích, hoặc ngược lại. Ví dụ, nói thể tích căn phòng là "30 mét vuông".
Cách khắc phục: Luôn nhớ rằng diện tích là đại lượng 2 chiều (mặt phẳng), còn thể tích là đại lượng 3 chiều (không gian). Đơn vị của thể tích luôn có số mũ 3 (m³, cm³) hoặc là các đơn vị đo dung tích (lít, ml).
2. Quên hệ số $\frac{1}{3}$ cho hình nón và hình chóp
Sai lầm: Tính thể tích hình nón bằng công thức của hình trụ ($V = \pi R^2 h$) mà bỏ qua hệ số $\frac{1}{3}$.
Thực tế: Thể tích của một hình nón (hoặc hình chóp) luôn bằng một phần ba thể tích của hình trụ (hoặc hình lăng trụ) có cùng diện tích đáy và chiều cao. Đây là một tính chất quan trọng cần ghi nhớ.
3. Sai đơn vị khi tính toán
Sai lầm: Khi tính thể tích, các kích thước (dài, rộng, cao, bán kính) không cùng một đơn vị. Ví dụ, chiều dài tính bằng mét, chiều rộng tính bằng centimet.
Cách khắc phục: Trước khi áp dụng công thức, phải luôn đảm bảo tất cả các đại lượng đã được quy đổi về cùng một đơn vị đo.
Bài tập
Bài 1 (Cơ bản): Một lon nước ngọt hình trụ có bán kính đáy là 3.3 cm và chiều cao 11.5 cm. Hỏi thể tích của lon nước là bao nhiêu cm³? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Hiện đáp ánÁp dụng công thức thể tích hình trụ: $V = \pi R^2 h$.
$V = \pi \times (3.3)^2 \times 11.5 = \pi \times 10.89 \times 11.5 = 125.235\pi$ cm³.
Lấy $\pi \approx 3.14159$, ta có:
$V \approx 125.235 \times 3.14159 \approx 393.44$ cm³.
Bài 2 (So sánh): So sánh thể tích của một hình cầu có bán kính 5 cm và một hình lập phương có cạnh 8 cm. Hình nào có thể tích lớn hơn?
Hiện đáp ánBước 1: Tính thể tích hình cầu.
$V_{cầu} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) = \frac{500}{3}\pi$ cm³.
$V_{cầu} \approx \frac{500}{3} \times 3.14 \approx 523.33$ cm³.
Bước 2: Tính thể tích hình lập phương.
$V_{lập phương} = a^3 = 8^3 = 512$ cm³.
Bước 3: So sánh.
Vì $523.33 > 512$, thể tích của hình cầu lớn hơn thể tích của hình lập phương.
Bài 3 (Hình phức hợp): Một viên thuốc có hình dạng một viên nang, bao gồm một hình trụ ở giữa và hai nửa hình cầu ở hai đầu. Hình trụ có chiều dài 12 mm và bán kính 4 mm. Bán kính của hai nửa hình cầu cũng là 4 mm. Tính thể tích của cả viên thuốc.
Hiện đáp ánMẹo giải: Thể tích viên thuốc bằng tổng thể tích của hình trụ và thể tích của hai nửa hình cầu (chính là một hình cầu hoàn chỉnh).
Bước 1: Tính thể tích phần hình trụ.
$V_{trụ} = \pi R^2 h = \pi (4^2)(12) = \pi(16)(12) = 192\pi$ mm³.
Bước 2: Tính thể tích phần hình cầu.
Hai nửa hình cầu tạo thành một hình cầu có bán kính $R=4$ mm.
$V_{cầu} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (4)^3 = \frac{4}{3} \pi (64) = \frac{256}{3}\pi$ mm³.
Bước 3: Tính tổng thể tích.
$V_{tổng} = V_{trụ} + V_{cầu} = 192\pi + \frac{256}{3}\pi = (\frac{576}{3} + \frac{256}{3})\pi = \frac{832}{3}\pi$ mm³.
$V_{tổng} \approx \frac{832}{3} \times 3.14 \approx 870.83$ mm³.
Bài 4 (Ứng dụng thực tế): Một silo chứa ngũ cốc có dạng hình trụ, bên trên là một mái che hình nón. Phần hình trụ có đường kính 10 m và cao 20 m. Phần mái che hình nón có cùng đường kính và cao 3 m. Tính sức chứa tối đa của silo (tính bằng m³).
Hiện đáp ánMẹo giải: Sức chứa của silo bằng tổng thể tích của phần hình trụ và phần hình nón.
Bán kính của cả hai phần là $R = \text{đường kính} / 2 = 10 / 2 = 5$ m.
Bước 1: Tính thể tích phần hình trụ.
$V_{trụ} = \pi R^2 h_{trụ} = \pi (5^2)(20) = \pi(25)(20) = 500\pi$ m³.
Bước 2: Tính thể tích phần hình nón.
$V_{nón} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{nón} = \frac{1}{3} \pi (5^2)(3) = \frac{1}{3} \pi (25)(3) = 25\pi$ m³.
Bước 3: Tính tổng thể tích.
$V_{silo} = V_{trụ} + V_{nón} = 500\pi + 25\pi = 525\pi$ m³.
$V_{silo} \approx 525 \times 3.14159 \approx 1649.33$ m³.
Vậy, sức chứa tối đa của silo là khoảng 1649.33 mét khối.