1. Đạo hàm của hàm số \(y = x \cdot \sin(x)\) là gì?
\( y' = 1 \cdot \cos(x) \)
\( y' = \sin(x) + x\cos(x) \)
\( y' = \cos(x) \)
\( y' = \sin(x) - x\cos(x) \)
Mật thư giải mã: Áp dụng công thức \((uv)' = u'v + uv'\)
Với \(u=x \Rightarrow u'=1\) và \(v=\sin(x) \Rightarrow v'=\cos(x)\).
Ta có: \(y' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x)\). Nhiệm vụ hoàn thành!
2. Tìm đạo hàm của \(y = e^x(2x+1)\).
\( y' = e^x \cdot 2 \)
\( y' = e^x(2x+1) \)
\( y' = e^x(2x+3) \)
\( y' = 2e^x \)
Mật thư giải mã: Dùng \((uv)' = u'v + uv'\)
Với \(u=e^x \Rightarrow u'=e^x\) và \(v=2x+1 \Rightarrow v'=2\).
Ta có: \(y' = e^x(2x+1) + e^x(2) = e^x(2x+1+2) = e^x(2x+3)\). Đơn giản như điệp viên lấy đồ!
Cấp độ: Điệp Viên 007 🤵
3. "Xử lý" hàm số \(y = x^2 \ln(x)\), ta được kết quả nào?
\( y' = 2x \cdot \frac{1}{x} \)
\( y' = 2x \ln(x) + x \)
\( y' = 2x + \frac{1}{x} \)
\( y' = 2x \ln(x) + x^2 \)
Mật thư giải mã: Mật lệnh vẫn là \((uv)' = u'v + uv'\).
Với \(u=x^2 \Rightarrow u'=2x\) và \(v=\ln(x) \Rightarrow v'=\frac{1}{x}\).
Ta có: \(y' = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x\). Đặc vụ xuất sắc!
4. Cho \(f(x) = (3x^2 - 1)(x+2)\). Tính \(f'(1)\).
18
22
16
20
Mật thư giải mã: 1. Tìm đạo hàm: \(f'(x) = (6x)(x+2) + (3x^2-1)(1)\).
2. Thay số: \(f'(1) = (6 \cdot 1)(1+2) + (3 \cdot 1^2 - 1)(1)\)
\(f'(1) = 6 \cdot 3 + (3-1) \cdot 1 = 18 + 2 = 20\). Mục tiêu đã bị hạ gục!
Bảng Thành Tích: Chọn đáp án
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Tân Binh 🕵️♀️
1. Đạo hàm của tích bằng tích các đạo hàm: \((uv)' = u'v'\). Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Mật thư giải mã: Sai! Đây là cái bẫy phổ biến nhất của kẻ địch! Công thức đúng phải là \((uv)' = u'v + uv'\). Hãy cẩn thận!
2. Đạo hàm của \(y = 5 \cdot \cos(x)\) là \(y' = -5\sin(x)\). Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Mật thư giải mã: Đúng! Đây là trường hợp hằng số nhân với hàm. Ta có thể xem \(u=5 \Rightarrow u'=0\) và áp dụng công thức \((uv)' = 0 \cdot \cos(x) + 5 \cdot (-\sin(x)) = -5\sin(x)\). Hoặc đơn giản là giữ nguyên hằng số và lấy đạo hàm của hàm: \(5 \cdot (\cos(x))' = -5\sin(x)\).
Cấp độ: Điệp Viên 007 🤵
3. Đạo hàm của \(f(x) = 5x \cos(x)\) là \(5\cos(x) - 5x\sin(x)\). Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Mật thư giải mã: Hoàn toàn đúng!
Với \(u=5x \Rightarrow u'=5\) và \(v=\cos(x) \Rightarrow v'=-\sin(x)\).
\(f'(x) = 5 \cdot \cos(x) + 5x \cdot (-\sin(x)) = 5\cos(x) - 5x\sin(x)\). Bạn không hổ danh là 007!
4. Cho \(f(x) = (x+1)e^x\). Giá trị của \(f'(0)\) bằng 1. Đúng hay sai?
Đúng 👍
Sai 👎
Mật thư giải mã: Sai. Kẻ địch đã gài bẫy!
1. Tìm đạo hàm: \(f'(x) = (1)e^x + (x+1)e^x = e^x(1+x+1) = e^x(x+2)\).
2. Thay số: \(f'(0) = e^0(0+2) = 1 \cdot 2 = 2\). Giá trị đúng là 2!
Bảng Thành Tích: Đúng/Sai Thần Tốc
Điểm của bạn: 0/4
Cấp độ: Tân Binh 🕵️♀️
1. Cho \(f(x) = x^2(x+1)\). Tìm giá trị của \(f'(1)\).
Mật thư giải mã: Cách 1: \(f'(x) = (2x)(x+1) + x^2(1) = 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2+2x\).
Thay \(x=1\), ta có \(f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 5\).
Cách 2: Nhân vào trước: \(f(x) = x^3 + x^2 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 2x\).
Thay \(x=1\), ta có \(f'(1) = 3+2=5\). Mật mã là 5.
2. Nếu \(f(x) = x \ln(x)\) thì \(f'(e)\) bằng bao nhiêu? (biết \(\ln(e)=1\))
Mật thư giải mã: 1. Tính đạo hàm: \(f'(x) = (1)\ln(x) + x \cdot (\frac{1}{x}) = \ln(x) + 1\).
2. Thay số: \(f'(e) = \ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2\). Con số cần tìm là 2.
Cấp độ: Điệp Viên 007 🤵
3. Điền số còn thiếu: \( \frac{d}{dx}(x^4 \ln(x)) = ? x^3 \ln(x) + x^3 \)
Mật thư giải mã: Áp dụng \((uv)' = u'v + uv'\) với \(u=x^4, v=\ln(x)\).
Ta có \(u' = 4x^3\) và \(v'=\frac{1}{x}\).
\(y' = (4x^3)\ln(x) + x^4(\frac{1}{x}) = 4x^3\ln(x) + x^3\).
Vậy số cần điền vào dấu ? chính là 4.
4. Cho \(h(x)=f(x)g(x)\). Biết \(f(2)=3, f'(2)=-1, g(2)=4, g'(2)=2\). Tính \(h'(2)\).
Mật thư giải mã: Đây là bài toán tổng hợp thông tin tình báo!
Công thức: \(h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\).
Thay các thông tin đã cho tại \(x=2\):
\(h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = (-1)(4) + (3)(2) = -4 + 6 = 2\).
Giá trị cuối cùng là 2. Nhiệm vụ thành công mỹ mãn!