🌱 Mầm non
1. Tìm đạo hàm của "em bé" \(y = \frac{1}{x}\).
A. \(y' = 1\)
B. \(y' = -\frac{1}{x^2}\)
C. \(y' = \frac{1}{x^2}\)
D. \(y' = \ln|x|\)
Xem Giải Chi Tiết
Bí kíp hạ gục câu này:
Đây là trường hợp đặc biệt của công thức \(\left(\frac{u}{v}\right)'\). Nhưng nhanh hơn, ta viết lại \(y = x^{-1}\).
Áp dụng công thức lũy thừa \((x^n)' = nx^{n-1}\) với \(n = -1\).
Ta có: \(y' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Xong! Quá dễ!
🔥 Ấm máy rồi!
2. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 3}\) là gì ta?
A. \(y' = \frac{-7}{(x+3)^2}\)
B. \(y' = \frac{5}{(x+3)^2}\)
C. \(y' = \frac{7}{(x+3)^2}\)
D. \(y' = 2\)
Xem Giải Chi Tiết
Công thức thần chưởng ra tay:
Áp dụng công thức tính nhanh cho hàm bậc nhất / bậc nhất: \(y = \frac{ax+b}{cx+d} \implies y' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\).
Xác định các hệ số: \(a=2, b=-1, c=1, d=3\).
Tính "huyền thoại chéo": \(ad - bc = (2)(3) - (-1)(1) = 6 - (-1) = 7\).
Lắp vào công thức: \(y' = \frac{7}{(x+3)^2}\). Chuẩn không cần chỉnh!
🤯 Bắt đầu xoắn
3. Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}\).
A. \(y' = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x-1)^2}\)
B. \(y' = \frac{3x^2 - 2}{(x-1)^2}\)
C. \(y' = \frac{x^2 + 2x + 2}{(x-1)^2}\)
D. \(y' = 2x+2\)
Xem Giải Chi Tiết
Ra tay với công thức \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\):
Đặt \(u = x^2 + 2x \implies u' = 2x + 2\).
Đặt \(v = x - 1 \implies v' = 1\).
Lắp vào công thức: \(y' = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)(1)}{(x-1)^2}\).
Nhân tung tóe tử số: \(y' = \frac{(2x^2 - 2x + 2x - 2) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2}\).
Rút gọn: \(y' = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x-1)^2}\). Bạn làm được mà!
🏆 Trùm Cuối
4. Cho hàm số \(f(x) = \frac{x-1}{x^2 + 1}\). Tính giá trị của \(f'(1)\).
A. \(1\)
B. \(0\)
C. \(-1/2\)
D. \(1/2\)
Xem Giải Chi Tiết
Chinh phục trùm cuối nào!
Dùng công thức \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
Với \(u = x-1 \implies u'=1\) và \(v = x^2+1 \implies v'=2x\).
Ta có \(f'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - (x-1)(2x)}{(x^2+1)^2}\).
Rút gọn tử số: \(f'(x) = \frac{x^2+1 - (2x^2 - 2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}\).
Bây giờ thay \(x=1\) vào: \(f'(1) = \frac{-(1)^2 + 2(1) + 1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1+2+1}{(2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Quá đỉnh!
🌱 Mầm non
1. Đạo hàm của \(y = \frac{-3}{x}\) là \(y' = \frac{3}{x^2}\). Đúng hay Sai?
Xem Giải Chi Tiết
Kiểm tra nhanh nhé!
Ta có thể viết lại \(y = -3 \cdot \frac{1}{x}\).
Vì \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\), nên \(y' = -3 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{3}{x^2}\).
Vậy mệnh đề này hoàn toàn Đúng !
🔥 Ấm máy rồi!
2. Công thức tính đạo hàm \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v + uv'}{v^2}\). Đúng hay Sai?
Xem Giải Chi Tiết
Cẩn thận kẻo bị lừa!
Đây là một cái bẫy siêu kinh điển. Các bạn rất hay nhầm dấu cộng và dấu trừ.
Công thức đúng phải là: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) (dấu trừ nhé!).
Do đó, mệnh đề trên là Sai bét! Hãy khắc cốt ghi tâm công thức này!
🤯 Bắt đầu xoắn
3. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x+1}{x-1}\) tại \(x=2\) là một số âm. Đúng hay Sai?
Xem Giải Chi Tiết
Cùng kiểm chứng nào!
Dùng công thức tính nhanh: \(y' = \frac{(1)(-1) - (1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-1-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}\).
Thay \(x=2\) vào đạo hàm: \(y'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2\).
Vì \(-2 < 0\), nên đạo hàm tại \(x=2\) là một số âm. Mệnh đề này Đúng !
🏆 Trùm Cuối
4. Nếu đạo hàm của \(y = \frac{ax+2}{x+b}\) là \(y'=\frac{10}{(x+b)^2}\) thì \(a \cdot b = -12\). Đúng hay Sai?
Xem Giải Chi Tiết
Một câu hỏi ngược rất thú vị!
Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho: \(y' = \frac{a \cdot b - 2 \cdot 1}{(x+b)^2} = \frac{ab-2}{(x+b)^2}\).
Theo đề bài, \(y' = \frac{10}{(x+b)^2}\).
Đồng nhất hai kết quả, ta phải có: \(ab - 2 = 10\).
Suy ra \(ab = 12\).
Vậy mệnh đề \(a \cdot b = -12\) là Sai . Chắc nhiều bạn bị lừa dấu lắm đây!
🌱 Mầm non
1. Tính đạo hàm của \(y = \frac{x+5}{x-2}\) tại \(x=3\). Đáp án là bao nhiêu?
Kiểm Tra
Xem Giải Chi Tiết
Giải trong một nốt nhạc!
Tính đạo hàm bằng công thức nhanh: \(y' = \frac{(1)(-2) - (5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2}\).
Thay \(x=3\) vào: \(y'(3) = \frac{-7}{(3-2)^2} = \frac{-7}{1^2} = -7\).
Đáp án là -7 .
🔥 Ấm máy rồi!
2. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{5}{2x-1}\) là \(y' = \frac{A}{(2x-1)^2}\). Tìm giá trị của A.
Kiểm Tra
Xem Giải Chi Tiết
Mẹo nhỏ cho bạn đây!
Áp dụng công thức \(\left(\frac{k}{u}\right)' = -\frac{k \cdot u'}{u^2}\) (với k là hằng số).
Ở đây, \(k=5\) và \(u = 2x-1 \implies u'=2\).
Lắp vào công thức: \(y' = -\frac{5 \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{-10}{(2x-1)^2}\).
So sánh với đề bài, ta thấy \(A = -10\).
🤯 Bắt đầu xoắn
3. Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2}{x+1}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f'(x)\).
Kiểm Tra
Xem Giải Chi Tiết
Câu này cần 2 lần đạo hàm!
Tính đạo hàm cấp 1: \(f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\).
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(f'(x)\), ta có thể xét tử số: \(x^2+2x = (x^2+2x+1)-1 = (x+1)^2 - 1\).
Vậy \(f'(x) = \frac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2} = 1 - \frac{1}{(x+1)^2}\). (Sai lầm phổ biến!)
Cách đúng: Tử số \(T = x^2+2x\) là một Parabol có đỉnh tại \(x = -1\). Nhưng \(x=-1\) là tiệm cận đứng, không thuộc tập xác định! Tuy nhiên, ta thấy tử số \(x^2+2x=x(x+2)\) bằng 0 tại \(x=0\) và \(x=-2\). Đỉnh của Parabol là \((-1, -1)\). Mẫu số \((x+1)^2 > 0\) với mọi \(x \neq -1\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của tử số đạt được khi \(x \to -1\), nhưng ta cần xét giá trị thực. Hãy thử cách khác.
Cách khác đơn giản hơn: Tử số là \(x^2+2x = x(x+2)\) và mẫu số là \((x+1)^2\). Ta thấy \(f'(0) = 0\), \(f'(-2) = 0\). Lập bảng biến thiên cho \(f'(x)\), ta sẽ thấy giá trị nhỏ nhất của nó là 0. Wow!
🏆 Trùm Cuối
4. Cho hàm số \(y = \frac{2x-1}{x-1}\). Biết tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ \(x_0\) song song với đường thẳng \(d: y = -x + 2025\). Tính giá trị của \(x_0^2\).
Kiểm Tra
Xem Giải Chi Tiết
Kết hợp kiến thức nào!
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x_0\) chính là \(y'(x_0)\).
Tính đạo hàm: \(y' = \frac{(2)(-1) - (-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2+1}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}\).
Đường thẳng \(d: y = -x+2025\) có hệ số góc \(k = -1\).
Vì tiếp tuyến song song với \(d\), nên chúng có cùng hệ số góc: \(y'(x_0) = -1\).
Ta có phương trình: \(\frac{-1}{(x_0-1)^2} = -1 \iff (x_0-1)^2 = 1\).
Giải ra ta được: \(x_0-1 = 1\) hoặc \(x_0-1 = -1\). Suy ra \(x_0=2\) hoặc \(x_0=0\).
Đề bài yêu cầu tính \(x_0^2\). Cả hai trường hợp \(2^2=4\) và \(0^2=0\). Tuy nhiên, thường các bài toán sẽ hỏi một giá trị cụ thể hoặc tổng. Ở đây, có thể đề muốn hỏi tổng các giá trị có thể của \(x_0^2\). Nhưng nếu chỉ điền một số, 4 là một đáp án khả thi. Giả sử đề hỏi \(x_0>0\), thì \(x_0=2 \implies x_0^2 = 4\). (Đây là một câu hỏi mở, ta chọn một đáp án phổ biến là 4).