Cho hàm số \(y = f(x)\) "tung hoành" trên khoảng \((a, b)\) và một "nhân vật" \(x_0 \in (a, b)\).
Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) đơn giản là "tốc độ thay đổi" siêu nhỏ của hàm số ngay tại \(x_0\). Tưởng tượng bạn đang zoom vào đồ thị hàm số đến mức nó gần như biến thành một đường thẳng, thì đạo hàm chính là độ dốc của đường thẳng đó.
Dân trong nghề ký hiệu là \(f'(x_0)\) hoặc \(y'(x_0)\).
\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]\((u \pm v)' = u' \pm v'\) (Anh em có phúc cùng hưởng, có đạo hàm cùng chia)
\((uv)' = u'v + uv'\) (Đạo hàm thằng trước, giữ nguyên thằng sau, rồi ngược lại)
\((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) (Quy tắc "tử đạo mẫu giữ - tử giữ mẫu đạo, chia mẫu bình phương" thần thánh)
\((f(u))' = u' \cdot f'(u)\) (Đạo hàm từ "lõi" ra ngoài)
\((C)' = 0\) (Hằng số cô đơn thì đạo hàm bằng 0)
\((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) (Hạ mũ xuống, mũ giảm 1 bậc)
\((\sin x)' = \cos x\) (Sin biến thành Cos)
\((\cos x)' = -\sin x\) (Cos thì "dỗi", biến thành trừ Sin)
\((\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\) (Tan "chảnh", không chơi với Sin/Cos thường)
\((\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\) (Cot "hờn dỗi" như Cos)
\((e^x)' = e^x\) (\(e^x\) "bất tử", đạo hàm vẫn là chính nó)
\((a^x)' = a^x \ln a\) (\(a^x\) cũng gần "bất tử" nhưng phải có "cái đuôi" ln a)
\((\ln|x|)' = \frac{1}{x}\) (Loga Nepe "giản dị")
\((\log_a|x|)' = \frac{1}{x \ln a}\) (Loga cơ số a thì "phức tạp" hơn một chút)
Bài 1: \(y = x^5 - 3x^4 + 2x - 1\)
Bài 2: \(y = -2x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 6\)
Bài 3: \(y = \sqrt{x} + 3x\)
Bài 4: \(y = 3\sin x - 4\cos x\)
Bài 5: \(y = 5\tan x - 2\cot x\)
Bài 6: \(y = x^2 + \sin x\)
Bài 7: \(y = 2e^x + \ln x\)
Bài 8: \(y = 10^x - \log_3 x\)
Bài 9: \(y = e^x - 5^x\)
Bài 10 (Tích): \(y = x^3 \cos x\)
Bài 11 (Tích): \(y = e^x \sqrt{x}\)
Bài 12 (Thương): \(y = \frac{x+1}{x-2}\)
Bài 13 (Thương): \(y = \frac{\sin x}{x}\)
Thử thách 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x + 1\) tại điểm có hoành độ \(x_0 = 2\).
1. Tọa độ tiếp điểm: \(x_0=2 \implies y_0 = 2^3 - 3(2) + 1 = 3\). Tiếp điểm \(M(2, 3)\).
2. Hệ số góc: \(y' = 3x^2 - 3 \implies k = y'(2) = 3(2^2) - 3 = 9\).
3. Phương trình tiếp tuyến: \(y = 9(x-2)+3 \implies y = 9x - 15\).
Thử thách 2: "Bóc vỏ" hàm số \(y = \ln(\sin(e^x))\) để tính đạo hàm.
Áp dụng quy tắc chuỗi: \([\ln(u)]' = \frac{u'}{u}\) với \(u = \sin(e^x)\).
\(u' = [\sin(v)]' = v' \cos(v)\) với \(v=e^x \implies v'=e^x\). Suy ra \(u' = e^x \cos(e^x)\).
Vậy \(y' = \frac{u'}{u} = \frac{e^x \cos(e^x)}{\sin(e^x)} = e^x \cot(e^x)\).
Thử thách 3: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\). Tính đạo hàm cấp ba \(f'''(x)\).
\(f(x) = x^{-1}\)
\(f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2}\)
\(f''(x) = -(-2)x^{-3} = 2x^{-3}\)
\(f'''(x) = 2(-3)x^{-4} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}\)
❌ Pha "tự hủy" 1: Đạo hàm của thương = thương các đạo hàm: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'}{v'}\).
Chuẩn bài: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
❌ Pha "tự hủy" 2: "Não cá vàng", quên nhân \(u'\) khi chơi với hàm hợp.
Ví dụ: Tính \((\cos(3x))'\) mà ra \(-\sin(3x)\) là "toang".
Chuẩn bài: \((\cos(3x))' = (3x)' \cdot (-\sin(3x)) = -3\sin(3x)\).
❌ Pha "tự hủy" 3: Lú lẫn giữa \((a^x)'\) và \((x^a)'\).
Hàm mũ \((a^x)' = a^x \ln a\) (x "trên mây"). Ví dụ: \((2^x)' = 2^x \ln 2\).
Hàm lũy thừa \((x^a)' = ax^{a-1}\) (x "dưới đất"). Ví dụ: \((x^2)' = 2x\).