Nơi các con số và chữ cái "quẩy" hết mình!
Tưởng tượng mỗi đơn thức là một siêu anh hùng đơn độc. "Biệt đội" này chỉ có **một mình**, bao gồm:
Ví dụ: \(5x^2y\) là một đơn thức "xịn". Số \(5\) là hệ số, \(x^2y\) là phần biến.
Một mình số \(10\) hay một mình biến \(z\) cũng là đơn thức đó nha! Đừng khinh thường các anh hùng "tí hon" này.
ĐƠN THỨC
|
`-- Gồm 2 phần dính nhau bởi phép NHÂN
|
|-- HỆ SỐ (Một con số)
| `-- Ví dụ: 3, -1/2, 100
|
`-- PHẦN BIẾN (Các chữ với số mũ nguyên dương)
`-- Ví dụ: x, y², z³, xy
Ví dụ Bậc: Đơn thức \(7x^3y^4z\) có bậc là \(3 + 4 + 1 = 8\). Level 8 đó, không đùa được đâu!
Ví dụ Đồng dạng: \(-2x^2y\) và \(9x^2y\) là hai đơn thức đồng dạng. Còn \(5xy^2\) thì không, vì "kiểu tóc" (số mũ) của \(y\) khác rồi.
Cảnh báo: Biểu thức chứa phép cộng, trừ giữa các biến KHÔNG PHẢI là đơn thức.
Ví dụ: \(3x + 2y\) không phải đơn thức. Nó là "liên minh" của hai siêu anh hùng, chúng ta sẽ tìm hiểu nó ở tab Đa thức!
Lỗi sai kinh điển: Khi tìm bậc, nhiều bạn quên mất biến không ghi số mũ tức là mũ 1 (ví dụ \(z\) thực ra là \(z^1\)). Đừng để mất điểm oan uổng nhé!
Bài 1 (Cơ bản): Trong các biểu thức sau, đâu là đơn thức? \(3xy\), \(x-y\), \(-10x^2yz^3\), \(2025\), \(\frac{5}{x}\).
Các đơn thức là: \(3xy\), \(-10x^2yz^3\), \(2025\).
Lý do từ chối: \(x-y\) có phép trừ, \(\frac{5}{x}\) có biến ở dưới mẫu.
Bài 2 (Nâng cao): Tìm bậc và hệ số của đơn thức sau khi thu gọn: \((2xy^2) \cdot (-\frac{1}{2}x^3y)\).
Thu gọn: \((2 \cdot -\frac{1}{2}) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y) = -x^4y^3\).
Hệ số: -1. Bậc: \(4+3=7\).
Nếu đơn thức là siêu anh hùng đơn độc, thì đa thức chính là một "liên minh" hùng mạnh, là **tổng** của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong liên minh này được gọi là một **hạng tử**.
Ví dụ: \(P = 3x^2y - 5xy + 7\) là một đa thức. "Liên minh" này gồm 3 hạng tử là \(3x^2y\), \(-5xy\) và \(7\).
ĐA THỨC
|
`-- Là TỔNG của nhiều đơn thức
|
|-- Mỗi đơn thức được gọi là HẠNG TỬ
| `-- Ví dụ: Trong \(2x^2 - 3y\), có 2 hạng tử là \(2x^2\) và \(-3y\)
|
`-- BẬC CỦA ĐA THỨC
`-- Là bậc CAO NHẤT trong các hạng tử
Ví dụ Thu gọn: \(A = 5x^2y - 3xy + 7 - 2x^2y + 5xy\)
Nhóm các anh em đồng dạng: \(A = (5x^2y - 2x^2y) + (-3xy + 5xy) + 7\)
Kết quả gọn gàng: \(A = 3x^2y + 2xy + 7\)
Ví dụ Bậc: Bậc của \(A\) ở trên là 3 (bậc của hạng tử \(3x^2y\) cao nhất).
Cú lừa ngoạn mục: Tìm bậc của đa thức khi CHƯA thu gọn! Bạn phải thu gọn trước, vì có thể hạng tử có bậc cao nhất sẽ bị triệt tiêu.
Ví dụ: \(B = x^4 + 2x^2y - x^4 + 5\). Nếu vội vàng kết luận bậc là 4 là "toang". Sau khi thu gọn \(B = 2x^2y + 5\), bậc của đa thức này thực ra chỉ là 3 thôi!
Bài 1 (Cơ bản): Thu gọn và tìm bậc của đa thức \(Q = 2ab - 7 + 5a^2b - 3ab - 5a^2b\).
Thu gọn: \(Q = (5a^2b - 5a^2b) + (2ab - 3ab) - 7 = -ab - 7\).
Bậc của đa thức Q là 2 (bậc của hạng tử \(-ab\)).
Bài 2 (Nâng cao): Tính giá trị của đa thức \(M = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\) tại \(x=3, y=1\).
Cách 1: Thay số trực tiếp: \(M = 3^3 - 3(3^2)(1) + 3(3)(1^2) - 1^3 = 27 - 27 + 9 - 1 = 8\).
Cách 2 (Pro-player): Nhận ra đây là hằng đẳng thức! \(M = (x-y)^3\). Thay số: \(M = (3-1)^3 = 2^3 = 8\). Quá ngầu!
Chỉ những "anh em sinh đôi" (đơn thức đồng dạng) mới chơi được với nhau! Khi cộng hoặc trừ, ta chỉ cần:
Ví dụ: \(3x^2y + 5x^2y = (3+5)x^2y = 8x^2y\). (3 trái táo + 5 trái táo = 8 trái táo).
Ví dụ: \(10ab^2 - 4ab^2 = (10-4)ab^2 = 6ab^2\).
Ai cũng chơi được với nhau! Quy tắc cực đơn giản:
Ví dụ: \((4xy^2) \cdot (-2x^2yz)\)
\(= (4 \cdot -2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y) \cdot z\)
\(= -8x^3y^3z\)
Lỗi trời ơi đất hỡi: Cộng hai đơn thức KHÔNG đồng dạng. Ví dụ: \(2x^2y + 3xy^2\). Kết quả... vẫn là \(2x^2y + 3xy^2\). Nó không thể gọn hơn được nữa! Đừng cố ép chúng thành \(5x^3y^3\) nhé, tội nghiệp!
Lỗi khi nhân: Quên cộng số mũ của biến. Nhớ nhé, \(x \cdot x = x^2\), không phải \(x\) hay \(2x\) đâu!
Bài 1 (Cơ bản): Tính tổng \(-\frac{1}{3}x^2y + 5x^2y\).
\((-\frac{1}{3} + 5)x^2y = (-\frac{1}{3} + \frac{15}{3})x^2y = \frac{14}{3}x^2y\).
Bài 2 (Nâng cao): Tìm đơn thức A, biết rằng \(A \cdot 2xy^3 = -10x^3y^4z^2\).
Đây là phép chia! Ta lấy kết quả chia cho thừa số đã biết.
\(A = (-10x^3y^4z^2) : (2xy^3)\)
\(A = (-10 : 2) \cdot (x^3 : x) \cdot (y^4 : y^3) \cdot z^2 = -5x^2yz^2\)
Trận chiến này có 2 bước chính:
Cho \(A = 2x^2 - 3y\) và \(B = 5x^2 + 4y - 1\).
Tính A + B: \((2x^2 - 3y) + (5x^2 + 4y - 1)\)
\(= 2x^2 - 3y + 5x^2 + 4y - 1\)
\(= (2x^2 + 5x^2) + (-3y + 4y) - 1 = 7x^2 + y - 1\)
Tính A - B: \((2x^2 - 3y) - (5x^2 + 4y - 1)\)
\(= 2x^2 - 3y - 5x^2 - 4y + 1\) (Chú ý đổi dấu!)
\(= (2x^2 - 5x^2) + (-3y - 4y) + 1 = -3x^2 - 7y + 1\)
Giống như "siêu anh hùng" đơn thức đi phát quà cho từng "thành viên" trong liên minh đa thức. Lấy đơn thức nhân với **từng hạng tử** của đa thức.
Ví dụ: \(2x \cdot (3x^2 - 5y + 4)\)
\(= (2x \cdot 3x^2) - (2x \cdot 5y) + (2x \cdot 4)\)
\(= 6x^3 - 10xy + 8x\)
Đại chiến tổng lực! Lấy **từng hạng tử** của đa thức này nhân với **từng hạng tử** của đa thức kia, sau đó cộng các kết quả lại.
Ví dụ: \((x+2) \cdot (y-3)\)
\(= x \cdot (y-3) + 2 \cdot (y-3)\)
\(= (x \cdot y - x \cdot 3) + (2 \cdot y - 2 \cdot 3)\)
\(= xy - 3x + 2y - 6\)
Khi trừ đa thức: Sai lầm "quốc dân" là quên đổi dấu các hạng tử phía sau. Nhớ nhé, dấu trừ rất "nguy hiểm", nó sẽ thay đổi tất cả!
Khi nhân đa thức: Bỏ sót hạng tử! Để tránh điều này, hãy nhân một cách có hệ thống. Lấy hạng tử đầu tiên của đa thức 1 nhân hết, rồi mới tới hạng tử thứ hai...
Bài 1 (Cơ bản): Cho \(P = x^2 - 2xy + y^2\) và \(Q = x^2 + 2xy + y^2\). Tính \(P - Q\).
\(P - Q = (x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + 2xy + y^2)\)
\(= x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2\)
\(= (x^2-x^2) + (-2xy-2xy) + (y^2-y^2) = -4xy\).
Bài 2 (Nâng cao): Tìm x, biết: \(3x(x-5) - (x-1)(3x+2) = -9\).
Triển khai các phép nhân:
\((3x^2 - 15x) - (3x^2 + 2x - 3x - 2) = -9\)
\(3x^2 - 15x - (3x^2 - x - 2) = -9\)
Phá ngoặc (đổi dấu):
\(3x^2 - 15x - 3x^2 + x + 2 = -9\)
Thu gọn:
\(-14x + 2 = -9\)
\(-14x = -11\)
\(x = \frac{11}{14}\)