1. "Mood" của Hàm số (Tính Đơn điệu)
Cho hàm số $y = f(x)$ tung hoành trên vùng đất $K$.
- Hàm số được coi là "đang lên" (đồng biến) trên $K$ nếu cứ $x$ sau to hơn $x$ trước thì $y$ sau cũng "chanh sả" hơn $y$ trước. ($x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$). Đồ thị có xu hướng leo dốc.
- Hàm số được coi là "đang tụt" (nghịch biến) trên $K$ nếu cứ $x$ sau to hơn $x$ trước thì $y$ sau lại "tụt mood" hơn $y$ trước. ($x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$). Đồ thị có xu hướng lao dốc.
Một hàm số "lúc lên lúc xuống" như này gọi chung là có tính đơn điệu.
2. Điểm "Sống Ảo" (Cực trị)
Cho hàm số $y=f(x)$ và một điểm $x_0$ trong khu vực "hoạt động".
- $x_0$ được phong là điểm cực đại (đỉnh của chóp) nếu trong một khu vực lân cận, $f(x_0)$ là "trùm cuối", không ai cao bằng. Giá trị $f(x_0)$ lúc đó là giá trị cực đại.
- $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu (đáy xã hội) nếu trong một khu vực lân cận, $f(x_0)$ là "bé nhất", không ai thấp bằng. Giá trị $f(x_0)$ lúc đó là giá trị cực tiểu.
Mấy cái đỉnh với đáy này gọi chung là điểm cực trị, là nơi đồ thị uốn lượn "tạo nét" nhất.
1. "Soi" Mood hàm số bằng Đạo hàm
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $K$.
- Nếu $f'(x) > 0$ trên $K$ thì hàm số đang vui vẻ đi lên (đồng biến).
- Nếu $f'(x) < 0$ trên $K$ thì hàm số đang buồn bã đi xuống (nghịch biến).
- Nếu $f'(x) = 0$ trên $K$ thì hàm số "đứng hình" (hàm hằng).
Bí kíp nâng cao: Nếu $f'(x) \ge 0$ (hoặc $\le 0$) và chỉ bằng 0 tại vài điểm "chớp nhoáng" thì hàm số vẫn được tính là đồng biến (hoặc nghịch biến) nhé!
2. Công thức "Săn" Cực Trị
Quy tắc 1 (Dùng f'(x) - Thám tử Bảng Biến Thiên):
- Tìm "hộ khẩu thường trú" (Tập xác định).
- Tính $f'(x)$. Tìm các điểm "nghi vấn" làm cho $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ "mất tích".
- Vẽ "sơ đồ tâm trạng" (Bảng biến thiên).
- Dựa vào sự đổi "mood" của $f'(x)$ để chốt đơn:
- Nếu $f'(x)$ đổi từ "vui" (+) sang "buồn" (-) khi đi qua $x_0$ thì $x_0$ là đỉnh của chóp (CĐ).
- Nếu $f'(x)$ đổi từ "buồn" (-) sang "vui" (+) khi đi qua $x_0$ thì $x_0$ là đáy xã hội (CT).
Quy tắc 2 (Dùng f''(x) - Camera An Ninh):
- Tìm tập xác định.
- Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$ tìm các "nghi phạm" $x_i$.
- Tính $f''(x)$ rồi "soi" từng nghi phạm:
- Nếu $f''(x_i) < 0$ (mặt mếu), hàm số đạt cực đại tại $x_i$.
- Nếu $f''(x_i) > 0$ (mặt cười), hàm số đạt cực tiểu tại $x_i$.
- Nếu $f''(x_i) = 0$, camera bị mờ, phải quay lại dùng Quy tắc 1 cho chắc!
Ví dụ: "Soi" hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ từ A đến Z
Bước 1: Check-in "hộ khẩu".
Hàm đa thức nên "cân" tất, tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Bước 2: Tính đạo hàm, tìm điểm "bất ổn".
$y' = 3x^2 - 6x$
Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow$ có 2 điểm "bất ổn" là $x=0$ và $x=2$.
Bước 3: Lập "sơ đồ tâm trạng".
$y'$ là tam thức bậc hai có 2 nghiệm 0 và 2, hệ số $a=3 > 0$, áp dụng thần chú "trong trái, ngoài cùng", ta có bảng biến thiên:
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $y$ | $-\infty$ | ↗ | $2$ | ↘ | $-2$ | ↗ | $+\infty$ |
Bước 4: Chốt đơn!
- Hàm số "leo dốc" trên các đường đua $(-\infty, 0)$ và $(2, +\infty)$.
- Hàm số "tụt dốc" trên con dốc $(0, 2)$.
- Hàm số đạt "đỉnh của chóp" (CĐ) tại $x = 0$, giá trị lúc đó là $y = 2$.
- Hàm số rớt xuống "đáy xã hội" (CT) tại $x = 2$, giá trị lúc đó là $y = -2$.
❌ Cú lừa 1: Ảo tưởng rằng cứ $f'(x_0) = 0$ thì $x_0$ auto là điểm cực trị.
Bóc phốt: Đây chỉ là điều kiện cần, như "vé gửi xe". Muốn là cực trị thì đạo hàm phải đổi "mood" (đổi dấu) khi đi qua $x_0$.
Ví dụ "phản dame": Hàm $y = x^3$ có $y'(0)=0$ nhưng $y'$ trước và sau số 0 đều là dấu (+). Nó không đổi "mood", nên $x=0$ không phải cực trị.
❌ Cú lừa 2: Vơ đũa cả nắm, dùng dấu hợp $(\cup)$ khi kết luận khoảng đơn điệu.
Bóc phốt: Phải kết luận riêng lẻ từng khoảng, dùng chữ "và" cho sang. Dùng dấu hợp là sai bản chất, đi thi là "toang".
Ví dụ: Với hàm số ở trên, viết "Hàm số đồng biến trên $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$" là sai. Phải viết "Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, 0)$ và $(2, +\infty)$".
❌ Cú lừa 3: Lú lẫn giữa "điểm cực trị" và "giá trị cực trị".
Bóc phốt: "Điểm cực trị" là hỏi đến $x$ (hoành độ), còn "giá trị cực trị" (hay "cực trị") là hỏi đến $y$ (tung độ). Trả lời sai là "lạc trôi" ngay.
Ví dụ: Hàm $y = x^3 - 3x^2 + 2$ có điểm cực đại là $x=0$, còn giá trị cực đại là $y=2$.
Warm-up nhẹ nhàng với vài bài cơ bản cho nóng người nào!
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.
Xem đáp án
$y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x=0, x=1, x=-1$.
Kết luận:
- Đồng biến trên $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$.
- Nghịch biến trên $(-1, 0)$ và $(1, +\infty)$.
- Cực đại tại $x=\pm 1$, $y_{CĐ}=4$.
- Cực tiểu tại $x=0$, $y_{CT}=3$.
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số $y = \frac{x-2}{x+1}$.
Xem đáp án
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
$y' = \frac{1(x+1) - 1(x-2)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \forall x \in D$.
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(-1, +\infty)$.
- Hàm số không có cực trị.
Ok, giờ thì gồng tay lên, mình thử sức với mấy kèo khó hơn nhé!
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2-m+1)x + 1$ đạt cực đại tại $x=1$.
Xem đáp án
Ta có: $y' = x^2 - 2mx + m^2 - m + 1$ và $y'' = 2x - 2m$.
Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$, ta cần hệ điều kiện sau:
$$ \begin{cases} y'(1) = 0 \\ y''(1) < 0 \end{cases} $$$y'(1) = 1 - 2m + m^2 - m + 1 = m^2 - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=1 \\ m=2 \end{array} \right.$
$y''(1) = 2 - 2m < 0 \Leftrightarrow 2m > 2 \Leftrightarrow m > 1$.
Đối chiếu hai điều kiện, ta nhận giá trị $m=2$.
Đáp số: $m=2$.
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 - 3mx + 1$ đồng biến trên khoảng $(0, +\infty)$.
Xem đáp án
Ta có: $y' = 3x^2 - 3m$.
Để hàm số đồng biến trên $(0, +\infty)$, ta cần $y' \ge 0, \forall x \in (0, +\infty)$.
$\Leftrightarrow 3x^2 - 3m \ge 0, \forall x \in (0, +\infty)$
$\Leftrightarrow 3x^2 \ge 3m, \forall x \in (0, +\infty)$
$\Leftrightarrow m \le x^2, \forall x \in (0, +\infty)$
Xét hàm số $g(x) = x^2$ trên $(0, +\infty)$. Ta thấy $\min_{(0, +\infty)} g(x) = 0$.
Vậy để $m \le g(x)$ với mọi $x$ trong khoảng này, thì $m$ phải nhỏ hơn hoặc bằng giá trị nhỏ nhất của $g(x)$.
$\Rightarrow m \le 0$.
Đáp số: $m \le 0$.