1. Định nghĩa "Trùm Cuối" và "Bé Hạt Tiêu"
Cho hàm số $y = f(x)$ "tung hoành" trên lãnh địa $D$.
Số $M$ được tôn làm "Trùm Cuối" (Giá trị lớn nhất - GTLN) nếu:
1. Mọi giá trị $f(x)$ khác đều phải "ngả mũ" chào thua ($f(x) \le M$).
2. Phải có ít nhất một "nhân vật" $x_0$ đạt được tới cảnh giới của $M$ ($f(x_0)=M$).
Kí hiệu: $M = \max_{x \in D} f(x)$
Số $m$ được gọi là "Bé Hạt Tiêu" (Giá trị nhỏ nhất - GTNN) nếu:
1. Không có giá trị $f(x)$ nào có thể "bé" hơn được nữa ($f(x) \ge m$).
2. Tồn tại một "nhân vật" $x_0$ có giá trị "khiêm tốn" bằng đúng $m$ ($f(x_0)=m$).
Kí hiệu: $m = \min_{x \in D} f(x)$
2. Max/Min vs. Cực Trị: Đừng nhầm "Trùm Làng" với "Trùm Cuối"!
- GTLN/GTNN là "trùm cuối" trên toàn bộ lãnh địa $D$.
- Cực đại/cực tiểu chỉ là "trùm làng", to nhất/nhỏ nhất trong một xóm nhỏ thôi.
- Một hàm số có thể có nhiều "trùm làng", nhưng chỉ có duy nhất một "trùm cuối" và một "bé hạt tiêu" (nếu có).
1. Săn Max/Min trên đoạn $[a, b]$ (Sân chơi có giới hạn)
Đây là dạng dễ nhất, chỉ cần làm theo 4 bước "bất bại":
- Chuẩn bị vũ khí: Tính đạo hàm $f'(x)$.
- Tìm điểm khả nghi: Giải $f'(x)=0$ tìm các nghiệm $x_i$ lọt vào trong khoảng $(a,b)$.
- Kiểm tra các vị trí nóng: Tính giá trị của hàm số tại 2 đầu mút $f(a), f(b)$ và tại các điểm khả nghi $f(x_i)$.
- Chốt đơn: Trong đám giá trị vừa tính, số nào to nhất là Max, số nào bé nhất là Min. Xong phim!
2. Săn Max/Min trên một khoảng (Cuộc chơi vô tận)
Dạng này "phiêu" hơn, cần có "bản đồ" là Bảng Biến Thiên.
- Tính đạo hàm $f'(x)$, tìm các điểm tới hạn.
- Vẽ Bảng Biến Thiên chi tiết (có cả lim ở hai đầu).
- Nhìn vào dòng cuối của bảng biến thiên để kết luận.
Cảnh báo: Trên một khoảng, "trùm cuối" hoặc "bé hạt tiêu" có thể đã... chạy ra vô cực, tức là không tồn tại!
Ví dụ: Săn Max/Min của $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$ trên đoạn $[-4, 4]$
Bước 1: Ra chiêu đạo hàm.
$y' = 3x^2 - 6x - 9$
Bước 2: Săn lùng điểm khả nghi trong $(-4, 4)$.
$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -1 \text{ (Okela)} \\ x = 3 \text{ (Okela)} \end{array} \right.$
Cả hai anh bạn này đều nằm gọn trong lãnh địa, duyệt!
Bước 3: Tính giá trị tại các "điểm nóng".
- Hai "trùm biên":
- $f(-4) = -41$
- $f(4) = 15$
- Hai "điểm khả nghi":
- $f(-1) = 40$
- $f(3) = 8$
Bước 4: Vinh danh Quán quân và Á quân.
Trong các số $\{-41, 15, 40, 8\}$, ta thấy:
- Số 40 là to nhất. Vậy $\max_{x \in [-4,4]} f(x) = 40$ (tại $x=-1$).
- Số -41 là bé nhất. Vậy $\min_{x \in [-4,4]} f(x) = -41$ (tại $x=-4$).
❌ Pha "tự hủy" 1: Bỏ quên 2 "trùm biên" $f(a), f(b)$.
Bóc phốt: Đây là lỗi sai quốc dân. Nhiều bạn chỉ chăm chăm vào mấy điểm cực trị mà quên mất Max/Min hoàn toàn có thể xảy ra ở hai đầu mút. Luôn nhớ kiểm tra 2 biên nhé!
❌ Pha "tự hủy" 2: Tưởng "trùm làng" (cực đại) là "trùm cuối" (GTLN).
Bóc phốt: Một giá trị cực đại chưa chắc đã là GTLN. Nó chỉ là "vua" trong xóm nhỏ của nó thôi.
Minh chứng: Trong ví dụ trên, $f(3)=8$ là một giá trị cực tiểu (trùm làng đáy) nhưng nó vẫn lớn hơn GTNN (trùm cuối đáy) là $f(-4)=-41$.
❌ Pha "tự hủy" 3: Hấp tấp kết luận khi xét trên khoảng.
Bóc phốt: Khi chơi trên sân vô tận (một khoảng), phải lập Bảng Biến Thiên. Nếu thấy giá trị ở một đầu tiệm cận ra $\pm \infty$ thì đừng vội kết luận có Max/Min, có thể nó không tồn tại đâu!
Khởi động với mấy bài "tập sự" cho nóng người!
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$ trên đoạn $[-1, 5]$.
Xem đáp án
$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow x=1$ (nhận) hoặc $x=-2$ (loại).
Tính các giá trị: $f(-1) = 14$, $f(5)=266$, $f(1)=-6$.
Đáp số: Max là 266 tại $x=5$; Min là -6 tại $x=1$.
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f(x) = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $[1, 3]$.
Xem đáp án
$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=2$ (nhận) hoặc $x=-2$ (loại).
Tính các giá trị: $f(1) = 5$, $f(3)=13/3 \approx 4.33$, $f(2)=4$.
Đáp số: Max là 5 tại $x=1$; Min là 4 tại $x=2$.
Gồng tay lên, đến giờ của các "chiến thần" rồi!
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \cos^2(x) - \cos(x) + 3$.
Xem đáp án
Đặt $t = \cos(x)$, điều kiện $t \in [-1, 1]$.
Bài toán trở thành tìm Max/Min của $g(t) = t^2 - t + 3$ trên đoạn $[-1, 1]$.
$g'(t) = 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1/2$ (nhận).
Tính: $g(-1) = 5$, $g(1) = 3$, $g(1/2) = 11/4 = 2.75$.
Đáp số: Max y = 5; Min y = 11/4.
Bài 2: Tìm $m$ để GTLN của hàm số $y = \frac{x+m}{x-1}$ trên đoạn $[2, 4]$ bằng $3$.
Xem đáp án
$y' = \frac{-1-m}{(x-1)^2}$. Hàm số hoặc luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến (hoặc hằng).
Vậy Max/Min chỉ có thể xảy ra ở hai biên $x=2$ hoặc $x=4$.
Ta có $y(2) = 2+m$ và $y(4) = \frac{4+m}{3}$.
TH1: Hàm đồng biến (m < -1). Max là $y(4) = \frac{4+m}{3} = 3 \Rightarrow m=5$ (Loại).
TH2: Hàm nghịch biến (m > -1). Max là $y(2) = 2+m = 3 \Rightarrow m=1$ (Nhận).
Đáp số: $m=1$.