Đáp án đúng là B. Hàm số đồng biến (đi lên ↗) khi đạo hàm \(y' > 0\). Nhìn vào bảng, ta thấy \(y'\) mang dấu "+" trên hai khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1; +\infty)\).
2. Từ bảng biến thiên ở câu 1, giá trị cực đại của hàm số là:
Đáp án đúng là C. Cực đại là "đỉnh núi", nơi hàm số đi từ đồng biến sang nghịch biến. Tại \(x=-1\), giá trị của \(y\) (giá trị cực đại) là 2.
Nâng cao
3. Hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 - 1\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là D. Ta có \(y' = -3x^2 + 6x\). Cho \(y' = 0 \iff -3x(x-2)=0 \iff x=0\) hoặc \(x=2\). Vì hệ số a của \(y'\) là -3 (âm), nên \(y' < 0\) ở hai khoảng ngoài cùng. Vậy hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 0)\) và \((2; +\infty)\).
4. Hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 3\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Đáp án đúng là D. Ta có \(y' = 4x^3 - 4x\). Cho \(y' = 0 \iff 4x(x^2-1)=0\), ta được 3 nghiệm phân biệt là \(x=0, x=1, x=-1\). Vì đạo hàm đổi dấu qua cả 3 nghiệm này, nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Vòng 2: Thử tài phán đoán!
Cơ bản
1. Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x\) thuộc khoảng K thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên K.
Đáp án là Đúng. Đây là định nghĩa cơ bản về tính đơn điệu. Đạo hàm dương thì hàm số "leo dốc" (đồng biến).
2. Nếu hàm số đạt cực đại tại \(x_0\) thì \(f'(x_0) = 0\).
Đáp án là Sai. Phát biểu này thiếu trường hợp đạo hàm không xác định tại \(x_0\). Ví dụ, hàm \(y = -|x|\) đạt cực đại tại \(x=0\) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Nâng cao
3. Hàm số \(y = ax^3 + ...\) (với \(a \ne 0\)) luôn luôn có cực trị.
Đáp án là Sai. Hàm bậc ba có cực trị khi phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt. Nếu \(y'\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, hàm số sẽ luôn đồng biến hoặc nghịch biến và không có cực trị. Ví dụ: \(y=x^3\).
4. Nếu \(f'(x_0)=0\) và \(f''(x_0) > 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\).
Đáp án là Đúng. Đây là dấu hiệu 2 để tìm cực trị. \(f''(x_0) > 0\) cho thấy đồ thị "lõm" (hướng lên), giống như một "thung lũng", nên hàm số đạt cực tiểu.
Vòng 3: Thử tài tính toán!
Cơ bản
1. Hàm số \(y = x^3 - 3x + 5\) đạt cực tiểu tại điểm \(x\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là 1. Ta có \(y' = 3x^2 - 3\). \(y'=0 \iff x = \pm 1\). Xét dấu y', ta thấy hàm số đổi dấu từ âm sang dương tại \(x=1\), nên đây là điểm cực tiểu.
2. Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y = -x^4 + 2x^2 + 2\).
Đáp án đúng là 3. Ta có \(y' = -4x^3 + 4x\). \(y'=0 \iff x=0, x=\pm 1\). Dễ thấy hàm số có 2 điểm cực đại tại \(x=\pm 1\). Thay \(x=1\) vào hàm số ban đầu, ta được \(y = -1 + 2 + 2 = 3\).
Nâng cao
3. Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y = x^3 - 2x^2 + mx + 1\) đạt cực tiểu tại \(x=1\).
Đáp án đúng là 1. Để hàm số có khả năng đạt cực trị tại \(x=1\) thì \(y'(1)=0\). Ta có \(y' = 3x^2 - 4x + m\). Suy ra \(y'(1) = 3 - 4 + m = 0 \iff m=1\). Thử lại với \(m=1\), ta thấy \(y'' = 6x-4 \implies y''(1) = 2 > 0\), nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\).
4. Cho hàm số \(y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2\). Gọi \(y_{CĐ}\) và \(y_{CT}\) lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số. Tính tổng \(y_{CĐ} + y_{CT}\).
Đáp án đúng là 0. Ta có \(y' = 3x^2 - 12x + 9\). \(y'=0 \iff x=1\) hoặc \(x=3\).
Tại \(x=1\), \(y_{CĐ} = 1-6+9-2 = 2\).
Tại \(x=3\), \(y_{CT} = 27-54+27-2 = -2\).
Vậy tổng là \(2 + (-2) = 0\).