1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên trên đoạn \([-2; 3]\) như sau. Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên đoạn này là bao nhiêu?
x | -2 0 3
---------------------
y' | + 0 -
---------------------
y | 1 ↗ 5 ↘ -4
Đáp án đúng là B. GTLN là giá trị \(y\) cao nhất mà hàm số đạt được. Nhìn vào dòng \(y\), ta thấy giá trị cao nhất là 5.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \(y = x^3 - 3x + 4\) trên đoạn \([0; 2]\).
Đáp án đúng là C. 1. Tính đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 3\).
2. Tìm nghiệm \(y'=0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \iff x=1\) (nhận) hoặc \(x=-1\) (loại vì không thuộc \([0;2]\)).
3. Tính giá trị tại các điểm: \(y(0)=4\), \(y(2)=6\), \(y(1)=2\).
4. So sánh các giá trị, ta thấy GTNN là 2.
Nâng cao
3. Tìm GTLN của hàm số \(y = \frac{2x+1}{x-1}\) trên đoạn \([2; 3]\).
Đáp án đúng là C. 1. Tính đạo hàm: \(y' = \frac{2(x-1) - 1(2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}\).
2. Ta thấy \(y' < 0\) với mọi \(x \ne 1\). Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên \([2; 3]\).
3. Vì hàm số nghịch biến (luôn đi xuống), GTLN sẽ đạt tại điểm bắt đầu của đoạn, tức là tại \(x=2\).
4. \(y(2) = \frac{2(2)+1}{2-1} = 5\).
4. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y=x^4-2x^2+3\) trên đoạn \([0; \sqrt{3}]\). Giá trị của \(M+m\) là:
Đáp án đúng là D. 1. \(y' = 4x^3 - 4x\). Cho \(y'=0 \iff x=0, x=1, x=-1\). Trên đoạn \([0; \sqrt{3}]\), ta nhận \(x=0, x=1\).
2. Tính các giá trị: \(y(0)=3\), \(y(1)=2\), \(y(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^4 - 2(\sqrt{3})^2 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6\).
3. So sánh các giá trị, ta có GTLN là M=6 và GTNN là m=2.
4. \(M+m = 6+2=8\).
Vòng 2: Thử tài phán đoán!
Cơ bản
1. Hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\) thì luôn tồn tại GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Đáp án là Đúng. Đây là nội dung của Định lý giá trị cực trị (Weierstrass). Một hàm số liên tục trên một khoảng đóng và bị chặn thì chắc chắn sẽ có "điểm cao nhất" và "điểm thấp nhất".
2. GTLN của hàm số trên một đoạn luôn lớn hơn giá trị cực đại của nó.
Đáp án là Sai. GTLN có thể bằng giá trị cực đại (nếu "đỉnh núi" là điểm cao nhất), hoặc GTLN có thể đạt tại một trong hai đầu mút của đoạn. Do đó, GTLN lớn hơn hoặc bằng giá trị cực đại.
Nâng cao
3. Nếu hàm số \(y=f(x)\) không có đạo hàm tại \(x_0\) thì hàm số không thể có GTLN hoặc GTNN tại điểm đó.
Đáp án là Sai. Điểm tới hạn bao gồm cả điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Ví dụ, hàm \(y=|x|\) có GTNN tại \(x=0\) nhưng không có đạo hàm tại đó.
Vòng 3: Vua về đích!
Cơ bản
1. Tìm GTLN của hàm số \(y = -x^2 + 4x - 1\) trên đoạn \([1; 3]\).
Đáp án đúng là 3. 1. \(y' = -2x + 4\). Cho \(y'=0 \Rightarrow x=2\) (nhận).
2. Tính các giá trị: \(y(1)=2\), \(y(3)=2\), \(y(2)=3\).
3. GTLN là 3.
2. Tìm GTNN của hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \((0; +\infty)\).
Đáp án đúng là 4. Cách 1: Dùng đạo hàm. \(y' = 1 - \frac{4}{x^2}\). \(y'=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2\) (nhận). Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(x=2\). \(y(2)=2+\frac{4}{2}=4\).
Cách 2: Dùng BĐT Cauchy. Vì \(x>0\), ta có \(x+\frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4\). Dấu "=" xảy ra khi \(x = \frac{4}{x} \iff x=2\).
Nâng cao
3. Tìm GTNN của hàm số \(y = \sqrt{x^2 - 2x + 5}\).
Đáp án đúng là 2. Hàm số \(y\) đạt GTNN khi biểu thức trong căn, \(P = x^2 - 2x + 5\), đạt GTNN.
Ta có \(P = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x-1)^2 + 4\).
Vì \((x-1)^2 \ge 0\), nên \(P \ge 4\). GTNN của P là 4.
Vậy GTNN của y là \(\sqrt{4} = 2\).