1. Đồ thị hàm số \(y = \frac{2x+3}{x-1}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng nào?
Đáp án đúng là C. Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 (và tử số khác 0). Ta có \(x-1=0 \iff x=1\).
2. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x-5}{2x+4}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng nào?
Đáp án đúng là B. Khi \(x \to \infty\), giá trị của y tiến về tỉ số của hệ số bậc cao nhất ở tử và mẫu. Tức là \(y = \frac{1}{2}\).
Nâng cao
3. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 4}{x-2}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Đáp án đúng là A. Ta có \(y = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\) với điều kiện \(x \ne 2\). Đây là đồ thị của một đường thẳng bị "thủng" một lỗ tại \(x=2\), vì vậy nó không có đường tiệm cận nào cả. Đây là một cái bẫy đó nha!
4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2-x+2}{x+1}\).
Đáp án đúng là D. Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị, ta thực hiện phép chia đa thức: \((x^2-x+2) \div (x+1)\). Ta được thương là \(x-2\) và số dư là 4. Vậy \(y = x-2 + \frac{4}{x+1}\). Khi \(x \to \infty\), phần dư \(\frac{4}{x+1} \to 0\), nên tiệm cận xiên là \(y=x-2\).
Vòng 2: Thử tài phán đoán!
Cơ bản
1. Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\) (với \(c \ne 0, ad-bc \ne 0\)) luôn có đúng một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Đáp án là Đúng. Đây là tính chất đặc trưng của hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất. TCĐ là \(x = -d/c\) và TCN là \(y = a/c\).
2. Đồ thị hàm số không thể cắt đường tiệm cận đứng của nó.
Đáp án là Đúng. Tiệm cận đứng tồn tại ở những điểm mà hàm số không xác định. Vì vậy, đồ thị không thể có điểm nào nằm trên đường thẳng này.
Nâng cao
3. Đồ thị hàm số có thể cắt đường tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên của nó.
Đáp án là Đúng. Tiệm cận ngang/xiên mô tả hành vi của đồ thị khi \(x\) tiến ra VÔ CÙNG. Ở gần gốc tọa độ, đồ thị hoàn toàn có thể cắt các đường tiệm cận này.
4. Đồ thị hàm số đa thức (ví dụ: \(y = ax^3+bx^2+c\)) không có bất kỳ đường tiệm cận nào.
Đáp án là Đúng. Hàm đa thức có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên không có TCĐ. Khi \(x \to \infty\), giá trị của \(y\) cũng tiến ra \(\infty\), nên không có TCN. Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu quá nhiều (bậc mẫu là 0), nên cũng không có TCX.
Vòng 3: Vua tính nhẩm!
Cơ bản
1. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{3x-2025}{x+7}\) là đường thẳng \(x = ?\)
Đáp án đúng là -7. Ta cho mẫu số bằng 0: \(x+7=0 \iff x=-7\).
2. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{8x^2+x-1}{2x^2+5}\) là đường thẳng \(y = ?\)
Đáp án đúng là 4. Vì bậc tử bằng bậc mẫu, tiệm cận ngang là tỉ số của hai hệ số bậc cao nhất: \(y = \frac{8}{2} = 4\).
Nâng cao
3. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+9}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
Đáp án đúng là 2. Khi \(x \to +\infty\), \(\sqrt{x^2+9} \approx \sqrt{x^2} = x\), nên \(y \approx \frac{x}{x} = 1\). Ta có TCN \(y=1\).
Khi \(x \to -\infty\), \(\sqrt{x^2+9} \approx \sqrt{x^2} = |x| = -x\), nên \(y \approx \frac{x}{-x} = -1\). Ta có TCN \(y=-1\).
Vậy có 2 TCN.
4. Tìm hệ số góc của tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x^2+3x-1}{x-1}\).
Đáp án đúng là 2. Cách 1 (Chia đa thức): \((2x^2+3x-1) \div (x-1)\) được thương là \(2x+5\). Vậy TCX là \(y=2x+5\), có hệ số góc là 2.
Cách 2 (Công thức nhanh): Hệ số góc \(a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+...}{x^2-...} = 2\).