Đáp án đúng là B. Hai vector bằng nhau khi chúng vừa cùng hướng (bao gồm cả cùng phương) và vừa có độ dài bằng nhau.
2. Cho hình bình hành \(ABCD\). Vector tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) bằng vector nào sau đây?
Đáp án đúng là A. Đây là quy tắc hình bình hành. Tổng hai vector chung gốc là vector đường chéo cũng có gốc đó.
Nâng cao
3. Cho tam giác \(ABC\) với trọng tâm \(G\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là C. Đây là tính chất đặc trưng của trọng tâm G của tam giác ABC.
4. Cho hai vector \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có \(|\vec{a}|=2\), \(|\vec{b}|=3\) và góc giữa chúng là \(60^\circ\). Tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là C. Tích vô hướng được tính bằng công thức: \(|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 2 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\).
Vòng 2: Thử tài phán đoán!
Cơ bản
1. Hai vector cùng phương thì luôn cùng hướng.
Đáp án là Sai. Hai vector cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Ví dụ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BA}\) cùng phương nhưng ngược hướng.
2. Vector-không, ký hiệu \(\vec{0}\), là vector có độ dài bằng 0.
Đáp án là Đúng. Vector-không là trường hợp đặc biệt, có độ dài bằng 0 và được coi là cùng phương, cùng hướng với mọi vector.
Nâng cao
3. Với ba điểm bất kỳ \(A, B, C\), ta luôn có \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Đáp án là Đúng. Đây là quy tắc ba điểm (hay quy tắc Chasles) cho phép cộng vector, một quy tắc nền tảng và luôn đúng.
4. Nếu \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) thì \(\vec{a}\) hoặc \(\vec{b}\) phải là \(\vec{0}\).
Đáp án là Sai. Tích vô hướng bằng 0 khi hai vector vuông góc với nhau (và khác \(\vec{0}\)).
Vòng 3: Thử tài tính toán!
Cơ bản
1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=3, AC=4\). Tính độ dài của vector \(\overrightarrow{BC}\).
Đáp án đúng là 5. Độ dài vector \(\overrightarrow{BC}\) chính là độ dài cạnh BC. Áp dụng định lý Pytago: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).
2. Cho đoạn thẳng \(MN\) có độ dài bằng 8. Tính độ dài của vector \(3\overrightarrow{MN}\).
Đáp án đúng là 24. Độ dài của vector \(k\vec{a}\) bằng \(|k| \cdot |\vec{a}|\). Vậy \(|3\overrightarrow{MN}| = |3| \cdot |\overrightarrow{MN}| = 3 \cdot 8 = 24\).
Nâng cao
3. Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng 4. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\).
Đáp án đúng là -8. Góc giữa hai vector \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) là góc ngoài tại đỉnh B, bằng \(120^\circ\). Vậy \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ) = 16 \cdot (-\frac{1}{2}) = -8\).
4. Cho ba điểm \(A, B, C\). Tính độ dài của vector \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\). Biết \(BC = 10\).
Đáp án đúng là 10. Áp dụng quy tắc hiệu vector: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\). Độ dài của vector \(\overrightarrow{CB}\) chính là độ dài đoạn thẳng CB (hay BC), bằng 10.