🚀 Du Hành Không Gian Oxyz 🚀

Chào mừng các phi hành gia toán học! Hãy cùng khám phá hệ tọa độ Oxyz qua các thử thách "căng não" nhưng không kém phần thú vị nhé!

Câu 1 (Dễ thương): Trong không gian Oxyz, véc-tơ đơn vị trên trục Oy có tọa độ là gì? Dễ như ăn kẹo!
  • A. $\vec{i} = (1; 0; 0)$
  • B. $\vec{j} = (0; 1; 0)$
  • C. $\vec{k} = (0; 0; 1)$
  • D. $\vec{0} = (0; 0; 0)$

Đáp án đúng: B. $\vec{j} = (0; 1; 0)$

Giải thích: Các véc-tơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$, và $\vec{k}=(0,0,1)$. Đừng nhầm lẫn nhé bạn hiền!

Câu 2 (Tăng tốc): Cho điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(0; 1; 1)$. Tọa độ của véc-tơ $\vec{AB}$ là bao nhiêu nhỉ?
  • A. $(1; -3; 2)$
  • B. $(1; -1; 4)$
  • C. $(-1; 3; -2)$
  • D. $(-1; -1; -2)$

Đáp án đúng: C. $(-1; 3; -2)$

Giải thích: Công thức thần thánh đây: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$. Áp dụng vào, ta có $\vec{AB} = (0-1; 1-(-2); 1-3) = (-1; 3; -2)$. Quá đơn giản!

Câu 3 (Thử thách): Cho véc-tơ $\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{k}$. Tìm tọa độ của $\vec{u}$. Cẩn thận kẻo bị "lừa" nha!
  • A. $(2; 0; -3)$
  • B. $(2; -3; 0)$
  • C. $(0; 2; -3)$
  • D. $(2; 0; 3)$

Đáp án đúng: A. $(2; 0; -3)$

Giải thích: Véc-tơ $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ sẽ có tọa độ là $(x; y; z)$. Ở đây, $\vec{u} = 2\vec{i} + 0\vec{j} - 3\vec{k}$. Vậy nên tọa độ là $(2; 0; -3)$. Khuyết thành phần nào thì tọa độ đó bằng 0 thôi!

Câu 4 (Trùm cuối): Cho ba điểm $A(1;1;1)$, $B(2;0;1)$, $C(0;1;2)$. Điểm $D$ phải có tọa độ nào để $ABCD$ là hình bình hành?
  • A. $(3; 0; 2)$
  • B. $(1; 2; 0)$
  • C. $(-1; 2; 2)$
  • D. $(1; 0; 2)$

Đáp án đúng: C. $(-1; 2; 2)$

Giải thích: Để $ABCD$ là hình bình hành, ta cần $\vec{AB} = \vec{DC}$. Ta có $\vec{AB} = (2-1; 0-1; 1-1) = (1; -1; 0)$. Gọi $D(x, y, z)$, suy ra $\vec{DC} = (0-x; 1-y; 2-z)$. Cho hai véc-tơ bằng nhau: $$ \begin{align*} 1 &= 0-x \Rightarrow x = -1 \\ -1 &= 1-y \Rightarrow y = 2 \\ 0 &= 2-z \Rightarrow z = 2 \end{align*} $$ Vậy $D(-1; 2; 2)$. Bạn đã ra đáp án đúng chứ?

Câu 5 (Khởi động): Mệnh đề sau đúng hay sai: "Điểm $M(3; 0; -1)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy)".
  • Đúng
  • Sai

Đáp án đúng: Sai

Giải thích: Một điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) khi và chỉ khi cao độ $z=0$. Điểm $M$ có $z = -1 \neq 0$ nên nó không nằm trên (Oxy). Đơn giản mà, phải không?

Câu 6 (Suy luận): Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; 4; 6)$. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương".
  • Đúng
  • Sai

Đáp án đúng: Đúng

Giải thích: Hai véc-tơ cùng phương khi tọa độ của chúng tỉ lệ với nhau. Ta thấy $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2$. Điều này có nghĩa là $\vec{b} = 2\vec{a}$, nên chúng cùng phương. Thấy "pro" chưa nào?

Câu 7 (Nhanh trí): Điểm đối xứng với $P(1; -2; 5)$ qua trục Oz là $P'(-1; 2; 5)$. Đúng hay sai?
  • Đúng
  • Sai

Đáp án đúng: Đúng

Giải thích: Khi lấy đối xứng một điểm qua trục Oz, ta sẽ giữ nguyên tọa độ $z$ và đổi dấu cả hai tọa độ $x$ và $y$. Vậy điểm đối xứng của $P(1; -2; 5)$ qua trục Oz chính xác là $P'(-1; 2; 5)$. Mệnh đề này hoàn toàn đúng. Bạn thật tinh mắt!

Câu 8 (Chuyên gia): Cho $M(2;2;2)$. Hình chiếu của M lên mặt phẳng (Oyz) là điểm $N(2;2;0)$. Đúng hay sai?
  • Đúng
  • Sai

Đáp án đúng: Sai

Giải thích: Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng tọa độ nào thì giữ nguyên các tọa độ tương ứng và cho tọa độ còn lại bằng 0. Chiếu lên (Oyz) thì phải giữ y, z và cho $x=0$. Vậy hình chiếu đúng phải là $N(0; 2; 2)$.

Câu 9 (Tính nhẩm): Cho $\vec{a}=(1; 2; -1)$ và $\vec{b}=(3; 0; 4)$. Tọa độ của véc-tơ $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ là $(4; 2; x)$. Vậy $x$ bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng: 3

Giải thích: Để cộng hai véc-tơ, ta cộng các tọa độ tương ứng: $\vec{c} = (1+3; 2+0; -1+4) = (4; 2; 3)$. Vậy $x=3$. Dễ quá phải không nào?

Câu 10 (Nhanh tay): Cho điểm $A(-1; 4; 2)$. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) là bao nhiêu?

Đáp án đúng: 2

Giải thích: Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng (Oxy) là $|z_0|$. Vậy khoảng cách từ A đến (Oxy) là $|2| = 2$.

Câu 11 (Vận dụng): Cho véc-tơ $\vec{u} = (3; -4; 0)$. Độ dài của véc-tơ $\vec{u}$ là bao nhiêu?

Đáp án đúng: 5

Giải thích: Độ dài véc-tơ $\vec{u}=(x,y,z)$ được tính bằng công thức $|\vec{u}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Áp dụng: $|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Bộ số Pytago quen thuộc!

Câu 12 (Đỉnh cao): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(-1; 4; 1)$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB có tung độ là bao nhiêu?

Đáp án đúng: 3

Giải thích: Tọa độ trung điểm I của đoạn AB được tính bằng công thức $I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$. Tung độ của I là $y_I = \frac{y_A+y_B}{2} = \frac{2+4}{2} = 3$. Chỉ hỏi tung độ thôi nhé, đọc kỹ đề là chiến thắng!