⚔️ Đại Chiến Vectơ Trong Không Gian Oxyz ⚔️

Hãy cùng chinh phục những thử thách vectơ hóc búa để trở thành cao thủ hình học không gian nhé!

Câu 1 (Nhập môn): Cho $\vec{a}=(2; -1; 0)$ và $\vec{b}=(-1; 3; 5)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$ là gì?
  • A. $(1; 2; 5)$
  • B. $(3; -4; -5)$
  • C. $(1; 2; -5)$
  • D. $(3; -4; 5)$

Đáp án đúng: B. $(3; -4; -5)$

Giải thích: Ta lấy tọa độ tương ứng của $\vec{a}$ trừ cho $\vec{b}$: $\vec{u} = (2 - (-1); -1 - 3; 0 - 5) = (3; -4; -5)$. Một khởi đầu thật dễ dàng!

Câu 2 (Tăng tốc): Cho điểm $A(1; 0; 2)$ và $B(3; 4; 0)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
  • A. $(4; 4; 2)$
  • B. $(2; 4; -2)$
  • C. $(2; 2; 1)$
  • D. $(-2; -4; 2)$

Đáp án đúng: C. $(2; 2; 1)$

Giải thích: Tọa độ trung điểm bằng trung bình cộng tọa độ 2 điểm: $I = \left(\frac{1+3}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{2+0}{2}\right) = (2; 2; 1)$. Công thức là phải nhớ!

Câu 3 (Thử thách): Cho $\vec{u}=(1; -2; 2)$. Độ dài của vectơ $\vec{u}$ là bao nhiêu?
  • A. $3$
  • B. $\sqrt{5}$
  • C. $9$
  • D. $5$

Đáp án đúng: A. 3

Giải thích: Độ dài vectơ được tính bằng công thức $|\vec{u}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Ta có: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$. Đừng quên dấu trừ khi bình phương nhé!

Câu 4 (Trùm cuối): Cho 3 điểm $A(1;1;1)$, $B(0;2;0)$, $C(2;0;3)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
  • A. $(3; 3; 4)$
  • B. $(1; 1; 4/3)$
  • C. $(1; 1; 4)$
  • D. $(3; 3; 4/3)$

Đáp án đúng: B. $(1; 1; 4/3)$

Giải thích: Tọa độ trọng tâm bằng trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh: $G = \left(\frac{1+0+2}{3}; \frac{1+2+0}{3}; \frac{1+0+3}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}; \frac{3}{3}; \frac{4}{3}\right) = (1; 1; 4/3)$. Bạn đã hạ được trùm cuối chưa?

Câu 5 (Logic): Cho $\vec{a}=(1; 2; 3)$ và $\vec{b}=(2; 4; 5)$. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương".
  • Đúng
  • Sai

Đáp án đúng: Sai

Giải thích: Hai vectơ cùng phương khi tọa độ của chúng tỉ lệ. Ta có $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{4}{2} = 2$, nhưng $\frac{5}{3} \neq 2$. Vì tỉ lệ không đồng nhất nên chúng không cùng phương. Một chút lừa lọc ở đây!

Câu 6 (Tinh ý): Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}=(2; -1; 3)$ và $\vec{v}=(1; 2; 0)$ bằng 0. Đúng hay sai?
  • Đúng
  • Sai

Đáp án đúng: Đúng

Giải thích: Tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$. Chính xác! Điều này cũng có nghĩa là hai vectơ này vuông góc với nhau đó.

Câu 7 (Suy luận): Mệnh đề "Vectơ $\vec{a}=(0; 5; 0)$ vuông góc với mặt phẳng (Oxy)" là đúng hay sai?
  • Đúng
  • Sai

Đáp án đúng: Sai

Giải thích: Vectơ $\vec{a}$ có phương trùng với trục Oy, do đó nó nằm trong mặt phẳng (Oxy) hoặc song song với nó, chứ không thể vuông góc được. Vectơ vuông góc với (Oxy) phải có dạng $(0; 0; k)$ với $k \neq 0$.

Câu 8 (Tính nhẩm): Cho $\vec{a}=(4; -2; 1)$. Tọa độ của vectơ $3\vec{a}$ là $(12; -6; x)$. Vậy $x$ bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng: 3

Giải thích: Ta nhân 3 với từng tọa độ của $\vec{a}$: $3\vec{a} = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-2); 3 \cdot 1) = (12; -6; 3)$. Vậy $x=3$. Quá dễ!

Câu 9 (Vận dụng): Cho $\vec{u}=(1; 1; 0)$ và $\vec{v}=(2; 0; 0)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng: 2

Giải thích: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(2) + (1)(0) + (0)(0) = 2 + 0 + 0 = 2$. Kết quả của tích vô hướng là một con số, nhớ nhé!

Câu 10 (Nâng cao): Cho $\vec{a}=(1; 1; 0)$ và $\vec{b}=(1; -1; \sqrt{2})$. Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng bao nhiêu độ?

Đáp án đúng: 90

Giải thích: Ta có $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot \sqrt{2} = 1 - 1 + 0 = 0$. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ vuông góc với nhau, tức là góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Mẹo này giúp giải nhanh hơn nhiều!