Chào mừng đến với thế giới Oxyz, nơi mỗi vector đều có "căn cước công dân" của riêng mình!
Tưởng tượng bạn đang ở trong một vũ trụ 3D, với 3 con đường chính là $Ox, Oy, Oz$ vuông góc với nhau tại ngã tư vũ trụ $O$. Trên mỗi con đường có một "trùm cuối" canh giữ:
Ba trùm này đều có sức mạnh chuẩn là 1: $|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1$.
Mỗi vector $\vec{a}$ trong vũ trụ này thực chất là một sự kết hợp sức mạnh của 3 trùm cuối:
$$ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $$Bộ ba số $(a_1, a_2, a_3)$ chính là tọa độ - hay "căn cước công dân" - của vector $\vec{a}$. Ta viết gọn: $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$.
Tọa độ của điểm $M$ chính là tọa độ của "mũi tên chỉ đường" $\overrightarrow{OM}$ từ gốc vũ trụ tới nó.
$$ M(x, y, z) \iff \overrightarrow{OM} = (x, y, z) $$Cho nhà $A(x_A, y_A, z_A)$ và nhà $B(x_B, y_B, z_B)$. Mũi tên chỉ đường từ A đến B $\overrightarrow{AB}$ có "căn cước" siêu dễ nhớ:
$$ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) $$Thần chú: "LẤY ĐỊA CHỈ NHÀ CUỐI, TRỪ ĐỊA CHỈ NHÀ ĐẦU". Tuyệt đối không được làm ngược!
Cho hai "đặc vụ" $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$.
Trong vũ trụ Oxyz, cho hai điểm $P(2, -3, 1)$ và $Q(5, 1, -1)$. Tìm "căn cước" của các mũi tên $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{QP}$.
Triển khai:
Áp dụng thần chú "cuối trừ đầu":
$\overrightarrow{PQ} = (5-2, 1-(-3), -1-1) = (3, 4, -2)$.
$\overrightarrow{QP} = (2-5, -3-1, 1-(-1)) = (-3, -4, 2)$.
Phát hiện: $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{QP}$ là hai kẻ thù không đội trời chung, "căn cước" trái dấu nhau!
Cho đặc vụ $\vec{v} = (4, -1, 8)$. Sức mạnh của anh ta là bao nhiêu?
Triển khai:
Lên đồ Pytago 3D:
$|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
Sức mạnh của đặc vụ $\vec{v}$ là 9. Rất gì và này nọ!
Một vector $\vec{c}$ được mã hóa là $\vec{c} = 7\vec{j} - 4\vec{k}$. Giải mã "căn cước" của nó.
Triển khai:
Thông tin bị thiếu mất phần của trùm $\vec{i}$. Điều này có nghĩa là thành phần đó bằng 0. Ta viết lại đầy đủ:
$\vec{c} = 0\vec{i} + 7\vec{j} - 4\vec{k}$.
Giải mã thành công! "Căn cước" của $\vec{c}$ là $(0, 7, -4)$.
Tình huống "toang": Tính $\overrightarrow{AB}$ bằng cách lấy A trừ B.
Khắc cốt ghi tâm: Thần chú là CUỐI TRỪ ĐẦU. Luôn luôn là như vậy!
Tình huống "toang": Cho $\vec{a} = 3\vec{i} + 5\vec{k}$, kết luận ngay tọa độ là $(3, 5)$.
Khắc cốt ghi tâm: "Căn cước" trong không gian 3D luôn có 3 số. Khuyết thằng nào thì thằng đó bằng 0. Tọa độ đúng phải là $(3, 0, 5)$.
Tình huống "toang": Tính sức mạnh $|\vec{a}|$ bằng $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$.
Khắc cốt ghi tâm: Bạn đã làm hết việc khó là bình phương và cộng lại, đừng "ngã ngựa" ở vạch đích chỉ vì quên bấm cái nút CĂN BẬC HAI!
Cho điểm $M(10, -2, 7)$. Tìm tọa độ của mũi tên $\overrightarrow{OM}$.
Theo định nghĩa, tọa độ của $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ của điểm M luôn.
Vậy $\overrightarrow{OM} = (10, -2, 7)$. Không cần nghĩ!
Tính sức mạnh của hành trình $\overrightarrow{AB}$ biết $A(2, 3, 4)$ và $B(3, 5, 6)$.
Bước 1: Tìm "căn cước" của $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB} = (3-2, 5-3, 6-4) = (1, 2, 2)$.
Bước 2: Đo sức mạnh.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
Hai đặc vụ $\vec{a} = (x-1, 4, 3)$ và $\vec{b} = (2, y+1, 3)$ là anh em song sinh. Tìm $x$ và $y$.
Song sinh thì "căn cước" phải giống hệt nhau:
$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$.
$y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3$.
Cho ba cứ điểm $A(1, 2, 3)$, $B(5, 6, 7)$, $C(3, 3, 3)$. Tìm tọa độ cứ điểm $D$ để $ABCD$ tạo thành một căn cứ hình bình hành.
Để $ABCD$ là hình bình hành, hành trình từ A đến B phải y hệt hành trình từ D đến C: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Gọi $D(x, y, z)$.
$\overrightarrow{AB} = (5-1, 6-2, 7-3) = (4, 4, 4)$.
$\overrightarrow{DC} = (3-x, 3-y, 3-z)$.
Cho "căn cước" của chúng bằng nhau:
$3-x = 4 \Rightarrow x = -1$.
$3-y = 4 \Rightarrow y = -1$.
$3-z = 4 \Rightarrow z = -1$.
Vậy cứ điểm $D$ phải đặt tại $(-1, -1, -1)$.
Cho tam giác MNP có $M(1,1,1)$, $N(3,1,5)$ và $P(1,5,1)$. Dùng "giác quan vector" để kiểm tra xem tam giác MNP có phải là tam giác cân không.
Để biết có cân hay không, ta đo sức mạnh (độ dài) của 3 cạnh là biết ngay.
Sức mạnh cạnh MN: $\overrightarrow{MN} = (2, 0, 4) \Rightarrow |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{2^2+0^2+4^2} = \sqrt{20}$.
Sức mạnh cạnh NP: $\overrightarrow{NP} = (-2, 4, -4) \Rightarrow |\overrightarrow{NP}| = \sqrt{(-2)^2+4^2+(-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
Sức mạnh cạnh MP: $\overrightarrow{MP} = (0, 4, 0) \Rightarrow |\overrightarrow{MP}| = \sqrt{0^2+4^2+0^2} = \sqrt{16} = 4$.
Kết luận: Ba cạnh có sức mạnh là $\sqrt{20}, 6, 4$. Chẳng có cặp nào bằng nhau cả. Vậy MNP **không phải** là tam giác cân. "Giác quan" của chúng ta đã đúng!