Bỏ qua hệ tọa độ nhàm chán, ta sẽ khám phá thế giới vector bằng con mắt hình học siêu bá đạo!
Vector đơn giản là một mũi tên. Nó có điểm xuất phát (gốc) và điểm đáp (ngọn). Nó cho bạn biết phải đi đâu và đi bao xa.
Nhân vector $\vec{a}$ với số $k$ (ký hiệu $k\vec{a}$) giống như buff sức mạnh cho nó vậy.
Chiêu này không tạo ra vector mới, mà cho ra một CON SỐ để xem hai vector "hợp" nhau đến đâu.
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) $$trong đó $(\vec{a}, \vec{b})$ là góc giữa hai đứa nó.
Bí mật thượng thừa: Hai vector mà "ghét nhau" (vuông góc) thì độ hợp cạ bằng 0, tức là $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Chấm hết!
Cho tứ giác ABCD. M, N là "trung tâm chỉ huy" của AB và CD. Trổ tài chứng minh: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$.
Ra chiêu:
Ta dùng chiêu "đi đường vòng" qua M và N:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$ (Đi từ A qua M, qua N rồi mới tới C)
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$ (Tương tự cho B đến D)
Giờ thì hợp thể chúng lại:
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$
Vì M là trung tâm AB, nên $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BM}$ là hai kẻ thù, gặp nhau là tự hủy $\Rightarrow \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}$.
Tương tự với N là trung tâm CD, $\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \vec{0}$.
Kết quả cuối cùng: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \vec{0} + 2\overrightarrow{MN} + \vec{0} = 2\overrightarrow{MN}$. Dễ ợt!
Cho tam giác ABC đều cạnh $a$. Tính xem $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ "hợp cạ" với nhau cỡ nào ($\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$)?
Giải quyết:
Xài công thức thôi:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
Tam giác đều nên ai cũng biết:
$|\overrightarrow{AB}| = a$, $|\overrightarrow{AC}| = a$
Góc giữa hai vector này chính là góc $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Đẹp!
Vậy, độ "hợp cạ" là: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Xong phim!
Sai lầm chết người: Nghĩ rằng sức mạnh của tổng bằng tổng các sức mạnh.
Sự thật phũ phàng: Điều này chỉ đúng khi hai vector cùng phe (cùng hướng) thôi. Còn không thì quên đi nhé! Nhớ rằng: $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Cộng vector là phải theo quy tắc hình học, không phải cộng số học đâu mấy má!
Sai lầm: Khi tính tích vô hướng, vơ đại một góc nào đó của hai đường thẳng.
Sự thật: Muốn biết góc thật sự, phải lôi hai vector về chung một điểm xuất phát rồi mới đo. Góc này chỉ chạy từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ thôi, không có hơn đâu!
Sai lầm: "Đi từ A đến B hay từ B về A thì cũng là con đường đó mà?" - Một thanh niên chưa hiểu vector cho hay.
Sự thật: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai kẻ thù không đội trời chung! Chúng đi ngược đường nhau. Cẩn thận kẻo lú!
Cho hình bình hành ABCD. Rút gọn biểu thức: $\vec{v} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) - \overrightarrow{CB}$.
Theo chiêu hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
Trong hình bình hành, $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DA}$ là anh em sinh đôi. Mà kẻ thù của $\overrightarrow{DA}$ là $\overrightarrow{AD}$. Vậy $-\overrightarrow{CB}$ chính là $\overrightarrow{AD}$.
Gom lại ta có: $\vec{v} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$. Hết dọn dẹp được nữa rồi!
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $AB = 3$ và $AC = 4$. Tính sức mạnh của vector tổng hợp $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$.
Vẽ thêm hình chữ nhật ABDC cho nó ngầu. Theo chiêu hình bình hành (áp dụng cho cả hình chữ nhật), ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$.
Vậy, $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}|$, chính là độ dài đường chéo AD.
Dùng Pytago cho tam giác vuông ABC, ta có độ dài đường chéo $AD = BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Sức mạnh tổng hợp là 5. Quá đơn giản!
Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm "quyền lực". Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ, ta luôn có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$.
Ta lại dùng chiêu "đi đường vòng" qua G:
$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$
$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}$
$\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}$
Cộng hết cả lũ lại:
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})$
Một tính chất siêu đặc biệt của trọng tâm G là tổng 3 vector từ nó tới 3 đỉnh bằng 0: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Thay vào trên, ta được: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{MG}$. Điều phải chứng minh!
Cho hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có sức mạnh $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 5$ và chúng "ghét" nhau một góc $120^\circ$. Tính sức mạnh của vector hiệu $|\vec{a} - \vec{b}|$.
Ta xài một chiêu khá "hack": bình phương nó lên! $|\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$.
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + \vec{b}\cdot\vec{b}$
$= |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + |\vec{b}|^2$
Tính độ "hợp cạ" (hay "ghét cạ") của chúng: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(120^\circ) = 3 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -7.5$.
Lắp ráp vào công thức:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 3^2 - 2(-7.5) + 5^2 = 9 + 15 + 25 = 49$.
Vậy $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{49} = 7$. Sức mạnh của sự đối đầu là 7!