Tưởng tượng bạn đang điều tra một đám đông. Thay vì ghi chép info của từng người (quá mệt!), bạn chia họ thành các nhóm cho dễ quản lý: "nhóm tuổi teen", "nhóm U30", "nhóm U40",... Đó chính là mẫu số liệu ghép nhóm!
Đây là công cụ thô sơ nhất. Thám tử chỉ cần tìm ra "người cao nhất" và "người lùn nhất" trong đám đông, rồi lấy chiều cao của họ trừ cho nhau. Xong!
Ký hiệu là $R$. Công thức: $$ R = (\text{Mút phải của nhóm cuối}) - (\text{Mút trái của nhóm đầu}) $$
Đây mới là công cụ của thám tử xịn. Ta sẽ xếp cả đám đông thành một hàng dài và tìm ra những nhân vật chủ chốt:
Máy giải mã $Q_p$: Để tìm mấy "nhân vật" này trong đám đông đã bị ghép nhóm, ta dùng máy giải mã tối thượng:
$$ Q_p = u_m + \left( \frac{\frac{pn}{4} - N_{m-1}}{n_m} \right) \cdot h_m $$ Giải mã các ký hiệu:Đây là khu vực "ăn chơi" của 50% thành viên "bình thường" nhất trong đám đông. Ta "bơ" 25% yếu nhất và 25% mạnh nhất đi.
$$ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 $$Vụ án: Thời gian làm bài thi (phút) của 50 học sinh. "Biên bản hiện trường" được ghi lại như sau:
| Thời gian (phút) | Số học sinh (Tần số $n_i$) | "Sổ hộ khẩu" tích lũy |
|---|---|---|
| $[20; 30)$ | 5 | 5 |
| $[30; 40)$ | 8 | 13 |
| $[40; 50)$ | 15 | 28 |
| $[50; 60)$ | 12 | 40 |
| $[60; 70]$ | 10 | 50 |
| Tổng | $n=50$ |
a) Dựng "Vòng Vây Toàn Cảnh".
$R = 70 (\text{xa nhất}) - 20 (\text{gần nhất}) = 50$ phút. Nhanh gọn!
b) Truy tìm nghi phạm $Q_1$.
c) Truy tìm nghi phạm $Q_3$.
d) Đo độ rộng "Khu Vực Hội Trung Tâm".
$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 57.92 - 39.375 = 18.545$. 50% học sinh "bình thường" có thời gian làm bài chênh nhau khoảng 18.5 phút.
Tình huống "toang": Khi khoanh vùng nhóm, lại nhìn vào cột tần số ($n_i$) thay vì cột "sổ hộ khẩu tích lũy".
Bí kíp né bẫy: Luôn dùng **sổ hộ khẩu tích lũy** để dò tìm. Nó là manh mối duy nhất đáng tin!
Tình huống "toang": Nhầm $N_{m-1}$ (sổ hộ khẩu của các nhóm TRƯỚC) với $n_m$ (sổ hộ khẩu của nhóm HIỆN TẠI).
Bí kíp né bẫy: Trước khi lắp vào "máy giải mã", hãy ghi rõ từng linh kiện ra giấy: $u_m=?$, $n_m=?$, $N_{m-1}=?$, $h_m=?$. Cẩn tắc vô áy náy!
Tình huống "toang": Dùng "đại diện" của nhóm (số ở giữa) để tính "Vòng Vây Toàn Cảnh".
Bí kíp né bẫy: "Vòng vây" luôn được đo bằng **mút xa nhất của nhóm cuối** trừ đi **mút gần nhất của nhóm đầu**.
Vụ án 1: Thói quen "đốt tiền" của khách hàng. Tính "Vòng Vây Toàn Cảnh".
| Số tiền (nghìn đồng) | $[50; 100)$ | $[100; 150)$ | $[150; 200)$ | $[200; 250]$ |
|---|---|---|---|---|
| Số khách hàng | 15 | 30 | 25 | 10 |
Mút xa nhất: 250. Mút gần nhất: 50.
"Vòng Vây Toàn Cảnh" $R = 250 - 50 = 200$ (nghìn đồng). Vụ án được giải trong 5 giây!
Vụ án 2: Cân nặng của 40 quả dưa hấu. Khoanh vùng chứa "Trùm Giữa" ($Q_2$).
| Cân nặng (kg) | $[1.5; 2.0)$ | $[2.0; 2.5)$ | $[2.5; 3.0)$ | $[3.0; 3.5]$ |
|---|---|---|---|---|
| Số quả | 5 | 12 | 18 | 5 |
Tổng sĩ số $n=40$. Vị trí của "Trùm Giữa" $Q_2$ là $\frac{2 \cdot 40}{4} = 20$.
Dò theo "sổ hộ khẩu tích lũy":
Nhóm đầu tiên có sổ tích lũy $\ge 20$ là nhóm $[2.5; 3.0)$. "Trùm Giữa" đang ẩn náu ở đây!
Vụ án 3: Chiều cao của học sinh. Hãy đo độ rộng "Khu Vực Của Hội Trung Tâm" $\Delta_Q$.
| Chiều cao (cm) | $[150; 155)$ | $[155; 160)$ | $[160; 165)$ | $[165; 170)$ | $[170; 175]$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 5 | 15 | 25 | 10 | 5 |
Bước 1: Lập Sổ Hộ Khẩu Tích Lũy (Tổng sĩ số $n = 60$)
| Tần số $n_i$ | 5 | 15 | 25 | 10 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số tích lũy | 5 | 20 | 45 | 55 | 60 |
Bước 2: Tóm gọn $Q_1$
Vị trí: $\frac{60}{4} = 15$. Nhóm chứa $Q_1$ là $[155; 160)$ (sổ tích lũy 20 là số đầu tiên $\ge 15$).
$Q_1 = 155 + \left( \frac{15 - 5}{15} \right) \cdot 5 \approx 158.33$.
Bước 3: Tóm gọn $Q_3$
Vị trí: $\frac{3 \cdot 60}{4} = 45$. Nhóm chứa $Q_3$ là $[160; 165)$ (sổ tích lũy bằng đúng 45).
$Q_3 = 160 + \left( \frac{45 - 20}{25} \right) \cdot 5 = 165$.
Bước 4: Kết luận vụ án
"Khu Vực Hội Trung Tâm" rộng: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 165 - 158.33 = 6.67$ (cm). Vụ án kết thúc!