1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x^3\).
Đáp án đúng là B.
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: \(\int x^\alpha \,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\).
Với \(\alpha=3\), ta có: \(\int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C\). Dễ như ăn kẹo!
2. Họ nguyên hàm của \(f(x) = \cos(x)\) là gì?
Đáp án đúng là C.
Đạo hàm của hàm nào ra \(\cos(x)\) nhỉ? Chính là \(\sin(x)\) đó! Vậy nên \(\int \cos(x) \,dx = \sin(x) + C\).
3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{2x+3}\).
Đáp án đúng là A.
Đây là dạng \(\int \frac{1}{ax+b} \,dx\). Áp dụng công thức nhanh ta có \(\int \frac{1}{ax+b} \,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C\).
Ở đây, \(a=2\), vậy kết quả là \(\frac{1}{2}\ln|2x+3| + C\). Quá đỉnh!
4. Họ nguyên hàm của \(f(x) = e^{3x} - \sin(2x)\) là?
Đáp án đúng là D.
Ta xử lý từng "em" một:
- \(\int e^{3x} \,dx = \frac{1}{3}e^{3x}\)
- \(\int \sin(2x) \,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)\)
Ghép lại: \(\int (e^{3x} - \sin(2x)) \,dx = \frac{1}{3}e^{3x} - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) + C = \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{1}{2}\cos(2x) + C\). Bạn làm được chứ?
1. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Nguyên hàm của \(f(x)=e^x\) là \(e^x + 2025\)"?
Đáp án: Đúng.
Họ nguyên hàm của \(e^x\) là \(e^x+C\), trong đó C là một hằng số bất kỳ. Vì 2025 cũng là một hằng số, nên \(e^x + 2025\) là một nguyên hàm của \(e^x\). Mẹo nhỏ nhưng dễ bị lừa đó nha!
2. Mệnh đề sau đúng hay sai: "\(\int \frac{1}{x} \,dx = \ln(x) + C\) là đầy đủ nhất"?
Đáp án: Sai.
Thiếu một chi tiết cực kỳ quan trọng! Hàm \(\frac{1}{x}\) xác định khi \(x \neq 0\), nên công thức đầy đủ nhất phải có dấu giá trị tuyệt đối: \(\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C\). Cẩn thận kẻo mất điểm oan!
3. Mệnh đề sau đúng hay sai: "\(\int 5^x \,dx = x \cdot 5^{x-1} + C\) "?
Đáp án: Sai.
Bạn có nhầm với đạo hàm không đấy? Công thức đúng phải là \(\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C\). Vậy nên \(\int 5^x \,dx = \frac{5^x}{\ln(5)} + C\). Đừng để bị lừa nhé!
4. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\) thì \(F(x) - G(x) = 0\)"?
Đáp án: Sai.
Theo định nghĩa, hai nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Tức là \(F(x) - G(x) = C\), với C là hằng số. Hằng số này có thể là 0, nhưng cũng có thể là 1, -5, hoặc bất kỳ số nào khác. Một câu hỏi lý thuyết sâu sắc!
1. Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x) = 2x + 1\) thỏa mãn \(F(1)=5\). Hỏi \(F(0)\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là 3.
Ta có \(\int (2x+1) \,dx = x^2+x+C\).
Vì \(F(1)=5\), ta thay vào: \(1^2+1+C = 5 \Rightarrow 2+C=5 \Rightarrow C=3\).
Vậy \(F(x) = x^2+x+3\).
Suy ra \(F(0) = 0^2+0+3 = 3\). Đơn giản!
2. Biết \(\int \frac{1}{\cos^2(x)} \,dx = \tan(x) + C\). Vậy giá trị của \(a\) trong biểu thức \(\int \frac{5}{\cos^2(ax)} \,dx = \tan(ax) + C\) là bao nhiêu?
Đáp án đúng là 5.
Ta có công thức \(\int \frac{1}{\cos^2(kx)} \,dx = \frac{1}{k}\tan(kx) + C\).
Áp dụng vào bài: \(\int \frac{5}{\cos^2(ax)} \,dx = 5 \int \frac{1}{\cos^2(ax)} \,dx = 5 \cdot \frac{1}{a} \tan(ax) + C\).
Để biểu thức này bằng \(\tan(ax) + C\), thì hệ số \(\frac{5}{a}\) phải bằng 1.
\(\Rightarrow \frac{5}{a} = 1 \Rightarrow a = 5\). Một câu hỏi khá lắt léo!