Câu 1 (Nguyên hàm): Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 + \sin(x)$ là:
Đáp án đúng: $x^3 - \cos(x) + C$. Ta có $\int 3x^2 \,dx = x^3$ và $\int \sin(x) \,dx = -\cos(x)$.
Câu 2 (Tích phân): Giá trị của $I = \int_{0}^{1} e^x \,dx$ bằng:
Đáp án đúng: $e-1$. Ta có $\int e^x \,dx = e^x$. Do đó, $I = (e^x)\Big|_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.
Câu 3 (Ứng dụng): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$ và $y=x$ được tính bằng công thức nào?
Đáp án đúng: $\int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$. Giao điểm của hai đồ thị là $x^2=x \implies x=0, x=1$. Trong khoảng $(0,1)$, đường thẳng $y=x$ nằm trên parabol $y=x^2$. Do đó, diện tích là $\int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$.
Câu 4 (Nguyên hàm): $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln(x) + C$.
Đáp án: Sai. Công thức đúng phải có dấu giá trị tuyệt đối: $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C$ vì hàm số $\frac{1}{x}$ xác định cả khi $x<0$.
Câu 5 (Tích phân): Nếu $f(x)$ là hàm lẻ và liên tục trên $[-a, a]$ thì $\int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 0$.
Đáp án: Đúng. Đây là một tính chất quan trọng của tích phân hàm lẻ trên đoạn đối xứng. Về mặt hình học, diện tích dương và diện tích âm sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
Câu 6 (Tích phân): Tính giá trị của $I = \int_{0}^{2} 3x^2 \,dx$.
Câu 7 (Nguyên hàm): Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)=4x-1$ biết $F(1)=5$. Giá trị của $F(3)$ là bao nhiêu?
Câu 8 (Ứng dụng): Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đáp án là $k\pi$. Tìm $k$.