1. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) (\(a < b\)) được tính theo công thức nào?
Đáp án đúng là B.
Công thức tổng quát để tính diện tích hình phẳng là \(S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx\). Chúng ta phải dùng giá trị tuyệt đối vì diện tích không bao giờ âm, trong khi hàm \(f(x)\) có thể nhận giá trị âm. Đây là kiến thức nền tảng đó nha!
2. Cho \(\int_{1}^{2} f(x) \,dx = 5\) và \(\int_{1}^{2} g(x) \,dx = -2\). Tích phân \(\int_{1}^{2} [f(x) - g(x)] \,dx\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là D.
Áp dụng tính chất "xé" hiệu ra: \(\int_{1}^{2} [f(x) - g(x)] \,dx = \int_{1}^{2} f(x) \,dx - \int_{1}^{2} g(x) \,dx\).
Thay số vào thôi: \(5 - (-2) = 5 + 2 = 7\). Một pha xử lý gọn gàng!
3. Cho \(\int_{0}^{5} f(x) \,dx = 10\). Tích phân \(I = \int_{0}^{5} [2x + 3f(x)] \,dx\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là A.
Tách tích phân thành hai phần: \(I = \int_{0}^{5} 2x \,dx + \int_{0}^{5} 3f(x) \,dx\).
- Tính phần đầu: \(\int_{0}^{5} 2x \,dx = [x^2] \Big|_{0}^{5} = 5^2 - 0^2 = 25\).
- Tính phần sau: \(\int_{0}^{5} 3f(x) \,dx = 3 \int_{0}^{5} f(x) \,dx = 3 \cdot 10 = 30\).
Cộng lại: \(I = 25 + 30 = 55\). Bạn thật đỉnh!
4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = x^2 - 4x + 3\) và trục hoành là bao nhiêu?
Đáp án đúng là B.
Đầu tiên, tìm giao điểm với trục hoành: \(x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1, x=3\).
Trong khoảng \((1, 3)\), đồ thị nằm dưới trục hoành (\(y<0\)), nên ta phải lấy giá trị tuyệt đối.
\(S = \int_{1}^{3} |x^2 - 4x + 3| \,dx = -\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \,dx\).
\(= -[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x] \Big|_{1}^{3} = -[(9-18+9) - (\frac{1}{3}-2+3)] = -[0 - \frac{4}{3}] = \frac{4}{3}\). Một bài toán hay!
1. Mệnh đề sau đúng hay sai: "\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(a) - F(b)\), với \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\)"?
Đáp án: Sai.
Ối, suýt bị lừa! Công thức Newton-Leibniz đúng phải là \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)\). Lấy giá trị ở cận trên trừ đi giá trị ở cận dưới. Thứ tự rất quan trọng nhé!
2. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu \(f(x)\) là hàm lẻ và liên tục trên \([-a, a]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 0\)"?
Đáp án: Đúng.
Đây là một tính chất rất hay của tích phân. Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O. Phần diện tích dương và phần diện tích âm trên đoạn \([-a, a]\) sẽ triệt tiêu nhau, cho kết quả bằng 0. Quá ảo diệu!
3. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = 0\) thì chắc chắn \(f(x) = 0\) với mọi \(x \in [a, b]\)"?
Đáp án: Sai.
Đây là một bẫy kinh điển! Tích phân bằng 0 không có nghĩa là hàm số bằng 0. Ví dụ đơn giản: \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) \,dx = 0\). Diện tích bằng 0 có thể là do phần diện tích dương và phần diện tích âm bằng nhau và tự triệt tiêu. Hãy luôn cảnh giác!
4. Mệnh đề sau đúng hay sai: "\(\int_{1}^{3} f(x) \,dx = \int_{1}^{5} f(x) \,dx + \int_{5}^{3} f(x) \,dx\)"?
Đáp án: Đúng.
Trông hơi lạ nhưng hoàn toàn đúng! Ta có tính chất cộng: \(\int_{1}^{3} f(x) \,dx + \int_{3}^{5} f(x) \,dx = \int_{1}^{5} f(x) \,dx\).
Chuyển vế \(\int_{3}^{5} f(x) \,dx\) và sử dụng tính chất đảo cận \((-\int_{b}^{a} = \int_{a}^{b})\) ta được:
\(\int_{1}^{3} f(x) \,dx = \int_{1}^{5} f(x) \,dx - \int_{3}^{5} f(x) \,dx = \int_{1}^{5} f(x) \,dx + \int_{5}^{3} f(x) \,dx\). Logic đỉnh cao!
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = 3x^2\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=0, x=1\).
Đáp án đúng là 1.
Ta tính tích phân: \(S = \int_{0}^{1} 3x^2 \,dx\).
Nguyên hàm của \(3x^2\) là \(x^3\).
Vậy \(S = [x^3] \Big|_{0}^{1} = 1^3 - 0^3 = 1\). Quá dễ phải không nào?
2. Biết \(\int_{2}^{4} f(x) \,dx = 9\). Tính giá trị của \(I = \int_{1}^{2} f(2x) \,dx\)?
Đáp án đúng là 4.5 (hoặc 9/2).
Đây là một bài toán đổi biến số kinh điển! Ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Đặt biến phụ: Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt\).
2. Đổi cận:
- Khi \(x=1\) thì \(t = 2 \cdot 1 = 2\).
- Khi \(x=2\) thì \(t = 2 \cdot 2 = 4\).
3. Thay vào tích phân:
\(I = \int_{1}^{2} f(2x) \,dx = \int_{2}^{4} f(t) \cdot \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} f(t) \,dt\).
4. Sử dụng giả thiết: Tích phân không phụ thuộc vào tên biến, nên \(\int_{2}^{4} f(t) \,dt = \int_{2}^{4} f(x) \,dx = 9\).
Vậy \(I = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5\). Thật logic phải không nào?