1. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) quanh trục Ox được tính theo công thức nào?
Đáp án đúng là B.
Đây là công thức "thần chú" để tính thể tích khối tròn xoay quanh Ox. Mỗi lát cắt là một hình tròn có diện tích \(\pi R^2\), với bán kính \(R = f(x)\). Tích phân sẽ "cộng" thể tích của vô số lát cắt mỏng này lại. Đừng quên \(\pi\) nhé!
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) trên đoạn \([a,b]\) là:
Đáp án đúng là C.
Ý tưởng là lấy "đường cong trên trừ đường cong dưới". Vì ta không biết chắc hàm nào lớn hơn, việc dùng giá trị tuyệt đối \(|f(x) - g(x)|\) sẽ đảm bảo kết quả luôn dương. Lưu ý là dấu giá trị tuyệt đối nằm BÊN TRONG tích phân, không phải bên ngoài.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol \(y=x^2-2x\) và đường thẳng \(y=x\).
Đáp án đúng là B.
1. Tìm cận: Giải phương trình hoành độ giao điểm \(x^2-2x = x \Rightarrow x^2-3x = 0 \Rightarrow x=0\) hoặc \(x=3\).
2. Thiết lập tích phân: Trên \([0, 3]\), đường thẳng \(y=x\) nằm trên Parabol \(y=x^2-2x\).
Vậy \(S = \int_{0}^{3} [x - (x^2-2x)] \,dx = \int_{0}^{3} (-x^2+3x) \,dx\).
3. Tính toán: \(= [-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}] \Big|_{0}^{3} = (-\frac{27}{3} + \frac{27}{2}) - 0 = -9 + 13.5 = 4.5 = \frac{9}{2}\).
4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = \sin(x)\), \(Ox\), \(x=0, x=\pi\) quanh trục Ox.
Đáp án đúng là D.
1. Áp dụng công thức: \(V = \pi \int_{0}^{\pi} [\sin(x)]^2 \,dx\).
2. Hạ bậc: Dùng công thức \(\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}\).
\(V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos(2x)}{2} \,dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1-\cos(2x)) \,dx\).
3. Tính toán: \(= \frac{\pi}{2} [x - \frac{1}{2}\sin(2x)] \Big|_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} [(\pi - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi^2}{2}\). Một kết quả thật đẹp!
1. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Diện tích hình phẳng luôn là một số không âm"?
Đáp án: Đúng.
Diện tích là một đại lượng hình học đo độ lớn của một bề mặt. Giống như chiều dài hay cân nặng, nó không thể là số âm. Đây là lý do chúng ta phải dùng giá trị tuyệt đối trong công thức tích phân.
2. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Để tính thể tích vật thể quay quanh trục Oy, ta dùng công thức \(V = \pi \int_{c}^{d} [f(y)]^2 \,dy\), trong đó \(x=f(y)\)"?
Đáp án: Đúng.
Chính xác! Khi quay quanh Oy, mọi thứ đều phải "xoay" theo biến y. Chúng ta phải biểu diễn đường cong dưới dạng \(x\) theo \(y\), và lấy tích phân theo \(dy\). Bán kính của lát cắt tròn lúc này chính là hoành độ \(x\).
3. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi \(y=x\) và \(y=x^2\) quay quanh trục Ox bằng \(\pi \int_{0}^{1} (x-x^2)^2 \,dx\)"?
Đáp án: Sai.
Đây là một cái bẫy siêu to! Khi hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong quay quanh Ox, ta phải dùng phương pháp "vòng đệm" (washer method). Thể tích bằng "thể tích khối ngoài TRỪ đi thể tích khối trong".
Công thức đúng phải là: \(V = \pi \int_{0}^{1} [(x)^2 - (x^2)^2] \,dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \,dx\).
4. Mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu một vật thể có đáy là hình tròn bán kính R, và mặt cắt vuông góc với một đường kính của đáy là hình vuông, thì thể tích vật thể đó là \(\frac{16}{3}R^3\)"?
Đáp án: Đúng.
Đây là một bài toán vận dụng cao! Đặt đáy lên hệ trục tọa độ, đường kính trùng Ox, tâm O. Đường tròn có phương trình \(x^2+y^2=R^2\).
Mặt cắt tại hoành độ x là hình vuông có cạnh \(2y = 2\sqrt{R^2-x^2}\).
Diện tích mặt cắt: \(S(x) = (2y)^2 = 4(R^2-x^2)\).
Thể tích: \(V = \int_{-R}^{R} 4(R^2-x^2) \,dx = 4[R^2x - \frac{x^3}{3}] \Big|_{-R}^{R} = 4[(R^3 - \frac{R^3}{3}) - (-R^3 + \frac{R^3}{3})] = 4(\frac{2R^3}{3} - (-\frac{2R^3}{3})) = \frac{16R^3}{3}\). Đỉnh cao!
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = e^x\), trục Ox, trục Oy và đường thẳng \(x=1\) là \(a \cdot e + b\). Tính \(a+b\)?
Đáp án đúng là 0.
Diện tích \(S = \int_{0}^{1} e^x \,dx\).
Nguyên hàm của \(e^x\) là chính nó.
Vậy \(S = [e^x] \Big|_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1\).
So sánh với \(a \cdot e + b\), ta có \(a=1, b=-1\).
Vậy \(a+b = 1 + (-1) = 0\). Đơn giản mà, đúng không?
2. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = \frac{1}{x}\), \(Ox\), \(x=1, x=2\) quanh Ox có dạng \(\frac{\pi}{k}\). Tìm giá trị của \(k\)?
Đáp án đúng là 2.
1. Áp dụng công thức: \(V = \pi \int_{1}^{2} (\frac{1}{x})^2 \,dx = \pi \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx\).
2. Tính tích phân: Nguyên hàm của \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) là \(\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}\).
\(V = \pi [-\frac{1}{x}] \Big|_{1}^{2} = \pi [(-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{1})] = \pi [-\frac{1}{2} + 1] = \frac{\pi}{2}\).
So sánh với \(\frac{\pi}{k}\), ta thấy \(k=2\). Một bài toán gọn gàng!