Cùng nhau "quẩy" hết mình với các bài toán từ dễ đến khó về đường thẳng trong Oxyz nào!
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+3}{4}\). Vector nào sau đây là một vector chỉ phương (VTCP) của \(d\)?
Đáp án đúng là B.
Giải thích: Với phương trình đường thẳng dạng chính tắc \(\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}\), VTCP của nó sẽ có tọa độ là \(\vec{u} = (a; b; c)\). Nhìn vào phương trình, ta "chộp" ngay được các số ở dưới mẫu là \((2; -1; 4)\). Quá là dễ dàng phải không nào!
Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1; 2; -3)\) và \(B(3; -1; 1)\) là gì?
Đáp án đúng là A.
Giải thích: Đầu tiên, ta tìm VTCP bằng cách "trừ" tọa độ hai điểm: \(\vec{AB} = (3-1; -1-2; 1-(-3)) = (2; -3; 4)\). Sau đó, ta viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; -3) và có VTCP \(\vec{AB}\). Lắp công thức thôi: \(x = x_A + at\), \(y = y_A + bt\), \(z = z_A + ct\). Voilà, đáp án A hiện ra!
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-7}{1} = \frac{z-3}{4}\) và \(d_2: \frac{x-6}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z+2}{1}\).
Đáp án đúng là B.
Giải thích: VTCP của \(d_1\) là \(\vec{u_1} = (2; 1; 4)\). VTCP của \(d_2\) là \(\vec{u_2} = (3; -2; 1)\). Hai vector này không cùng phương (tỉ lệ không bằng nhau). Vậy \(d_1\) và \(d_2\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. Để kiểm tra, ta giải hệ phương trình từ phương trình tham số của chúng. PTTS của \(d_1\): \(x=1+2t, y=7+t, z=3+4t\). PTTS của \(d_2\): \(x=6+3s, y=-1-2s, z=-2+s\). Giải hệ: \(\begin{cases} 1+2t = 6+3s \\ 7+t = -1-2s \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2t - 3s = 5 \\ t + 2s = -8 \end{cases}\). Bấm máy tính, ta được \(t = -2, s = -3\). Thay cặp nghiệm này vào phương trình z: - Với \(d_1\): \(z = 3+4(-2) = -5\). - Với \(d_2\): \(z = -2+(-3) = -5\). Vì \(z=z\), hệ có nghiệm duy nhất! Vậy chúng nó "va" vào nhau, tức là cắt nhau đó!
Tính góc giữa đường thẳng \(d: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}\) và mặt phẳng \((P): x + z - 5 = 0\).
Đáp án đúng là A.
Giải thích: Lần này thì đề chuẩn rồi, không "cú lừa" nữa đâu nhé!
1. "Mổ xẻ" đối tượng:
- Đường thẳng \(d\) có vector chỉ phương (VTCP) là \(\vec{u} = (1; 1; 0)\).
- Mặt phẳng \((P)\) có vector pháp tuyến (VTPT) là \(\vec{n} = (1; 0; 1)\).
2. Tung chiêu cuối - công thức tính sin:
Gọi \(\alpha\) là góc giữa \(d\) và \((P)\). Công thức "bất bại" là:
\(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\)
3. Thay số và "quẩy":
- Tích vô hướng: \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1\).
- Độ dài VTCP: \(|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\).
- Độ dài VTPT: \(|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
4. Chiêm ngưỡng kết quả:
\(\sin(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).
Bấm máy tính "tạch tạch" hoặc dùng "siêu trí tuệ", ta có ngay \(\alpha = 30^\circ\). Chiến thắng oanh liệt! 🎉
Hai đường thẳng có hai vector chỉ phương cùng phương thì chắc chắn song song với nhau.
Đáp án là Sai.
Giải thích: Đây là một cái bẫy kinh điển! Nếu hai VTCP cùng phương, hai đường thẳng đó có thể song song hoặc trùng nhau. Muốn biết chắc chắn, ta phải xét thêm một điểm. Lấy 1 điểm trên đường này, thay vào đường kia, nếu thỏa mãn thì "trùng", không thì mới "song song". Cẩn thận kẻo bị lừa nhé!
Phương trình đường thẳng đi qua \(M(0; 1; 2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): x - 5y + 3z - 1 = 0\) có VTCP là \(\vec{u}=(-1; 5; -3)\).
Đáp án là Đúng.
Giải thích: Khi một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, VTCP của đường thẳng sẽ "bắt chước" y hệt VTPT của mặt phẳng (hoặc cùng phương với nó). VTPT của (P) là \(\vec{n} = (1; -5; 3)\). Vector \(\vec{u} = (-1; 5; -3)\) chính là \(-\vec{n}\). Hai vector này ngược hướng nhưng vẫn cùng phương. Vậy \(\vec{u}\) hoàn toàn có thể làm VTCP. Chuẩn không cần chỉnh!
Nếu tích vô hướng của hai vector chỉ phương của hai đường thẳng bằng 0, thì góc giữa hai đường thẳng đó là \(90^\circ\).
Đáp án là Đúng.
Giải thích: Công thức tính góc giữa hai đường thẳng dựa vào cosin góc giữa hai VTCP: \(\cos(\phi) = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}\). Nếu \(\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0\), thì \(\cos(\phi) = 0\), suy ra góc \(\phi = 90^\circ\). Đây chính là điều kiện để hai đường thẳng vuông góc. Quá đơn giản!
Góc giữa hai mặt phẳng \((P): x+y+2z+1=0\) và \((Q): 2x+2y+4z-5=0\) là \(0^\circ\).
Đáp án là Đúng.
Giải thích: Nhìn vào phương trình hai mặt phẳng, ta thấy VTPT của chúng là \(\vec{n}_P = (1; 1; 2)\) và \(\vec{n}_Q = (2; 2; 4)\). Dễ dàng nhận ra \(\vec{n}_Q = 2 \cdot \vec{n}_P\). Hai VTPT này cùng phương! Điều này chứng tỏ hai mặt phẳng này song song với nhau. Mà hai mặt phẳng song song thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ\). Tưởng khó mà lại dễ không tưởng!
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1; 0; -2)\) và có VTCP \(\vec{u}=(2; 5; -3)\). Phương trình chính tắc của \(d\) là \(\frac{x-1}{2} = \frac{y}{b} = \frac{z+2}{-3}\). Giá trị của \(b\) là bao nhiêu?
Đáp án là 5.
Giải thích: Phương trình chính tắc có dạng \(\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}\) với VTCP \((a, b, c)\) và đi qua điểm \((x_0, y_0, z_0)\). So sánh với VTCP \(\vec{u}=(2; 5; -3)\), ta có ngay \(a=2, b=5, c=-3\). Vậy số cần điền vào chỗ \(b\) là 5. Dễ như ăn kẹo!
Cho hai đường thẳng \(d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-1}\) và \(d_2: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{m}\). Để \(d_1\) vuông góc với \(d_2\) thì giá trị của \(m\) là bao nhiêu?
Đáp án là 4.
Giải thích: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai VTCP bằng 0. \(\vec{u_1} = (1; 2; -1)\) và \(\vec{u_2} = (2; 1; m)\). Ta có \(\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot m = 0\). \(\Leftrightarrow 2 + 2 - m = 0 \Leftrightarrow 4 - m = 0 \Leftrightarrow m = 4\). Đơn giản!
Để hai đường thẳng \(d_1: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z+4}{1}\) và \(d_2: \frac{x+2}{-4} = \frac{y}{6} = \frac{z-1}{k}\) song song với nhau, giá trị của \(k\) phải là bao nhiêu?
Đáp án là -2.
Giải thích: Để hai đường thẳng song song, hai VTCP của chúng phải cùng phương. \(\vec{u_1} = (2; -3; 1)\) và \(\vec{u_2} = (-4; 6; k)\). Hai vector cùng phương khi tọa độ của chúng tỉ lệ với nhau: \(\frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} = \frac{1}{k}\). Ta thấy \(\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\) và \(\frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}\). Vậy \(\frac{1}{k} = -\frac{1}{2} \Rightarrow k = -2\). (Lưu ý: cần kiểm tra thêm điểm để chắc chắn không trùng nhau, nhưng ở đây câu hỏi chỉ yêu cầu tìm k để VTCP cùng phương).
Cho đường thẳng \(d: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5}\) và mặt phẳng \((P): 6x + 8y + mz + 1 = 0\). Để \(d\) song song với \((P)\) thì \(m\) bằng bao nhiêu?
Đáp án là -10.
Giải thích: Đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\) khi VTCP của \(d\) vuông góc với VTPT của \((P)\). (Giống như một cây bút song song với mặt bàn thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng đứng chỉ lên từ mặt bàn). \(\vec{u}_d = (3; 4; 5)\) và \(\vec{n}_P = (6; 8; m)\). Điều kiện là \(\vec{u}_d \cdot \vec{n}_P = 0\). \(\Rightarrow 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot m = 0\) \(\Rightarrow 18 + 32 + 5m = 0\) \(\Rightarrow 50 + 5m = 0 \Rightarrow 5m = -50 \Rightarrow m = -10\). (Cũng cần kiểm tra điểm trên \(d\) không thuộc \((P)\) để đảm bảo không nằm trong, nhưng với câu hỏi tìm m thì điều kiện vuông góc là đủ).