Những quả cầu tròn vo trong không gian Oxyz có gì thú vị? Cùng giải mã nhé!
Mặt cầu \((S): (x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 9\) có tâm và bán kính là gì?
Đáp án đúng là B.
Giải thích: Công thức mặt cầu là \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2\), tâm là I(a; b; c). Cứ lấy số trong ngoặc rồi đổi dấu là ra tọa độ tâm: x-1 \(\rightarrow\) a=1, y+2 \(\rightarrow\) b=-2, z \(\rightarrow\) c=0. Bán kính thì chỉ cần lấy căn bậc hai của số bên phải: \(\sqrt{9}=3\). Dễ như bỡn!
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0\).
Đáp án đúng là C.
Giải thích: Với phương trình dạng tổng quát, tọa độ tâm I(a; b; c) được tìm bằng cách lấy hệ số của x, y, z chia cho -2. Ta có: a = \(\frac{-2}{-2}=1\), b = \(\frac{4}{-2}=-2\), c = \(\frac{-6}{-2}=3\). Vậy I(1; -2; 3). Bán kính \(R = \sqrt{a^2+b^2+c^2-d} = \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2-(-2)} = \sqrt{1+4+9+2} = \sqrt{16}=4\). Xong phim!
Mặt cầu có đường kính AB với A(1; 3; 2) và B(3; 5; 0) có phương trình là gì?
Đáp án đúng là A.
Giải thích:
Bước 1: Tìm tâm. Tâm I là trung điểm của AB, cứ lấy trung bình cộng tọa độ A và B: \(I(\frac{1+3}{2}; \frac{3+5}{2}; \frac{2+0}{2}) \Rightarrow I(2; 4; 1)\).
Bước 2: Tìm bán kính. Bán kính R bằng nửa độ dài AB. Vector \(\vec{AB}=(2; 2; -2)\). Độ dài \(AB = \sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
Vậy \(R = \frac{AB}{2} = \sqrt{3}\).
Bước 3: Viết phương trình. Lắp tâm I(2; 4; 1) và \(R^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\) vào công thức thôi: \((x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-1)^2 = 3\). Quá mượt!
Cho mặt cầu \((S): (x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 16\). Điểm nào sau đây nằm BÊN TRONG mặt cầu?
Đáp án đúng là C.
Giải thích: Tâm mặt cầu là I(1; 0; -2) và bán kính R=4. Một điểm K nằm trong mặt cầu khi khoảng cách IK < R. Ta tính bình phương khoảng cách cho nhanh nhé (so với \(R^2=16\)):
A: \(IM^2 = (1-1)^2+(4-0)^2+(-2-(-2))^2 = 16\). Điểm M nằm TRÊN mặt cầu.
B: \(IN^2 = (5-1)^2+(0-0)^2+(-2-(-2))^2 = 16\). Điểm N nằm TRÊN mặt cầu.
C: \(IP^2 = (2-1)^2+(1-0)^2+(-1-(-2))^2 = 1^2+1^2+1^2 = 3\). Vì \(3 < 16\) nên P nằm TRONG mặt cầu.
D: \(IQ^2 = (1-1)^2+(0-0)^2+(2-(-2))^2 = 16\). Điểm Q nằm TRÊN mặt cầu.
Vậy P là "kẻ nội gián" duy nhất!
Phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z+10=0\) là phương trình của một mặt cầu.
Đáp án là Sai.
Giải thích: Để kiểm tra, ta dùng điều kiện "thần thánh": \(a^2+b^2+c^2-d > 0\). Ở đây \(a=1, b=-2, c=1, d=10\). Ta có: \(1^2+(-2)^2+1^2-10 = 1+4+1-10 = -4\). Vì \(-4 < 0\) nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu. Nó chỉ là một "quả cầu xạo" thôi!
Mặt cầu \((S): (x-2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2=9\) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).
Đáp án là Sai.
Giải thích: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z=0. Tâm mặt cầu là I(2; 3; 4) và bán kính R=3. Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (Oxy) là \(d(I, (Oxy)) = |z_I| = |4| = 4\). Vì khoảng cách \(d=4\) lớn hơn bán kính \(R=3\), nên mặt cầu và mặt phẳng (Oxy) không có điểm chung. Chúng nó "không thuộc về nhau"!
Khi một mặt phẳng cắt một mặt cầu, giao tuyến của chúng luôn là một đường tròn.
Đáp án là Đúng.
Giải thích: Đây là một tính chất hình học cơ bản. Khi mặt phẳng cắt mặt cầu, tập hợp các điểm chung tạo thành một đường tròn. Trường hợp đặc biệt: khi mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu, đường tròn giao tuyến có bán kính lớn nhất và bằng bán kính mặt cầu, gọi là "đường tròn lớn".
Mặt cầu \(x^2+y^2+z^2=25\) có tâm nằm ngay tại gốc tọa độ O.
Đáp án là Đúng.
Giải thích: Phương trình này có thể viết lại là \((x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=5^2\). Nhìn vào đây, ta thấy ngay tâm của nó là I(0; 0; 0), chính là gốc tọa độ O. Đây là dạng mặt cầu đơn giản nhất!
Mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2+2x-8y-4z+12=0\) có bán kính R bằng bao nhiêu?
Đáp án là 3.
Giải thích: Ta có a=-1, b=4, c=2 và d=12. Áp dụng công thức \(R = \sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\). \(R = \sqrt{(-1)^2+4^2+2^2-12} = \sqrt{1+16+4-12} = \sqrt{9} = 3\).
Mặt cầu có tâm I(3; -2; 5) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): \(2x-y+2z+3=0\) có bán kính R bằng bao nhiêu?
Đáp án là 7.
Giải thích: Nếu mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng, thì bán kính R chính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Ta dùng công thức khoảng cách: \(d(I, (P)) = \frac{|2x_I - y_I + 2z_I + 3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\). \(R = \frac{|2(3) - (-2) + 2(5) + 3|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|6+2+10+3|}{\sqrt{9}} = \frac{21}{3} = 7\). Vậy bán kính là 7.
Mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và đi qua điểm A(3; 4; 4) có bán kính R bình phương (\(R^2\)) bằng bao nhiêu?
Đáp án là 9.
Giải thích: Nếu mặt cầu đi qua A thì bán kính R chính là độ dài đoạn thẳng IA. Ta có \(\vec{IA} = (3-1; 4-2; 4-3) = (2; 2; 1)\). \(R = |\vec{IA}| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3\). Câu hỏi yêu cầu điền \(R^2\), vậy đáp án là \(3^2=9\).
Mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R=5. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=4. Hỏi khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) là bao nhiêu?
Đáp án là 3.
Giải thích: Đây là ứng dụng định lý Pythagoras trong không gian! Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P), R là bán kính mặt cầu, và r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có một tam giác vuông "thần thánh" với cạnh huyền là R, một cạnh góc vuông là r, và cạnh góc vuông còn lại là d. Công thức là: \(R^2 = d^2 + r^2\). \(\Rightarrow 5^2 = d^2 + 4^2\) \(\Rightarrow 25 = d^2 + 16\) \(\Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d=3\). Bộ số Pytago (3, 4, 5) thật vi diệu!