Sẵn sàng kiểm tra kiến thức về mặt phẳng và vector chưa? Bắt đầu thôi!
Bài Tập Vui Nhộn - Thử Tài Lanh Trí! 🤪
Câu 1 (Cơ bản): Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(2x - 3y + z - 5 = 0\) có một vector pháp tuyến là gì?
A. \((2; 3; 1)\)
B. \((2; -3; 1)\)
C. \((-2; 3; 5)\)
D. \((2; -3; -5)\)
Đáp án đúng: B Giải thích: PTTQ của mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), thì VTPT là \(\vec{n} = (A; B; C)\). Soi vào phương trình \(2x - 3y + 1z - 5 = 0\), ta thấy ngay A=2, B=-3, C=1. Dễ như đếm kẹo!
Câu 2 (Hiểu bài): Mặt phẳng đi qua điểm \(A(1; 0; -2)\) và có cặp VTCP \(\vec{u}=(2;1;2)\), \(\vec{v}=(1;2;1)\) sẽ có VTPT là?
A. \((-3; 0; -3)\)
B. \((3; 0; -3)\)
C. \((-3; 0; 3)\)
D. \((3; 0; 3)\)
Đáp án đúng: C Giải thích: Ta dùng phép "tích có hướng thần chưởng": \(\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2; 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1; 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (-3; 0; 3)\). Bùm! Ra ngay đáp án.
Câu 3 (Vận dụng): Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;3)\) là gì?
A. \(6x + 3y + 2z - 6 = 0\)
B. \(x + 2y + 3z - 6 = 0\)
C. \(6x + 3y + 2z + 6 = 0\)
D. \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0\)
Đáp án đúng: A Giải thích: Đây là trường hợp đặc biệt, phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\). Thay \(a=1, b=2, c=3\) ta có \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\). Quy đồng mẫu số (MSC là 6), ta được \(6x + 3y + 2z = 6\), hay \(6x + 3y + 2z - 6 = 0\). Quá nhanh quá nguy hiểm!
Câu 4 (Nâng cao): Cho mặt phẳng (P): \(x + 2y - z + 1 = 0\) và điểm \(A(1;1;m)\). Tìm m để khoảng cách từ A đến (P) bằng \( \sqrt{6} \).
A. \(m = 4\) hoặc \(m = -8\)
B. \(m = 10\) hoặc \(m = -2\)
C. \(m = 2\) hoặc \(m = -6\)
D. \(m = 6\) hoặc \(m = -2\)
Đáp án đúng: B Giải thích: Áp dụng công thức khoảng cách: \(d(A, (P)) = \frac{|1 + 2(1) - m + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 - m|}{\sqrt{6}}\).
Theo đề bài, khoảng cách này bằng \(\sqrt{6}\), nên ta có: \(\frac{|4 - m|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \Leftrightarrow |4 - m| = 6\).
Điều này dẫn đến 2 trường hợp: \(4 - m = 6\) (suy ra \(m = -2\)) hoặc \(4 - m = -6\) (suy ra \(m = 10\)).
Câu 1: Vector \(\vec{n}=(0;0;0)\) là một vector pháp tuyến của mọi mặt phẳng.
Đúng
Sai
Đáp án đúng: Sai Giải thích: Vector pháp tuyến phải là vector khác \(\vec{0}\). Vector không thì không có phương xác định, sao mà làm "trọng tài" được!
Câu 2: Hai mặt phẳng có hai vector pháp tuyến cùng phương thì chắc chắn song song với nhau.
Đúng
Sai
Đáp án đúng: Sai Giải thích: Chúng có thể song song hoặc... trùng nhau! Giống như hai tờ giấy đặt chồng khít lên nhau vậy. Phải xét thêm hệ số D nữa nhé!
Câu 3: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm nó đi qua và một cặp vector chỉ phương của nó.
Đúng
Sai
Đáp án đúng: Đúng Giải thích: Chính xác! Từ cặp VTCP ta tìm được VTPT, kết hợp với điểm đi qua là xác định được "em" mặt phẳng duy nhất.
Câu 4: Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) có thể là một số âm nếu M nằm ở "phía âm" của mặt phẳng.
Đúng
Sai
Đáp án đúng: Sai Giải thích: Khoảng cách là độ dài hình học, luôn luôn không âm nhé các bạn. Công thức có dấu giá trị tuyệt đối to đùng để đảm bảo điều đó mà!
Câu 1 (Dễ): Mặt phẳng (P): \(3x - y + 2z - 6 = 0\) đi qua điểm \(A(2; y_0; 1)\). Giá trị của \(y_0\) là .
Đáp án đúng: 2 Giải thích: Điểm A thuộc (P) nên tọa độ của nó phải "thỏa mãn" phương trình. Thay x=2, z=1 vào phương trình: \(3(2) - y_0 + 2(1) - 6 = 0 \Leftrightarrow 6 - y_0 + 2 - 6 = 0 \Leftrightarrow y_0 = 2\).
Câu 2 (Quen thuộc): Khoảng cách từ điểm \(M(1; -2; 1)\) đến mặt phẳng (P): \(2x - 2y + z - 1 = 0\) bằng .
Đáp án đúng: 2 Giải thích: Áp dụng công thức khoảng cách: \(d(M, (P)) = \frac{|2(1) - 2(-2) + 1 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 4|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2\).
Câu 3 (Thách thức): Mặt phẳng (P) đi qua \(A(1;1;1)\) và song song với mặt phẳng (Q): \(x - 2y + z - 10 = 0\). Hệ số D trong phương trình tổng quát \(x - 2y + z + D = 0\) của (P) là .
Đáp án đúng: 0 Giải thích: Vì (P) // (Q) nên VTPT của (P) cũng là \((1; -2; 1)\). PTTQ của (P) có dạng \(x - 2y + z + D = 0\).
Vì (P) đi qua A(1;1;1), ta thay tọa độ A vào: \(1 - 2(1) + 1 + D = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0\).
Câu 4 (Vua về đích): Cho mặt phẳng (P): \((m+1)x + 2y - z + m = 0\) và (Q): \(2x + 4y - 2z + 1 = 0\). Để (P) song song với (Q) thì giá trị của m phải là .
Đáp án đúng: 0 Giải thích: Để (P) // (Q), ta cần \(\frac{m+1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{m}{1}\).
Từ \(\frac{m+1}{2} = \frac{2}{4}\), ta có \(m+1 = 1 \Rightarrow m=0\).
Kiểm tra điều kiện khác: \(\frac{m}{1} = \frac{0}{1} = 0\), trong khi \(\frac{2}{4} = 0.5\). Điều kiện \(\neq\) được thỏa mãn. Vậy m = 0 là đáp án chính xác!