Luyện tập Hình học không gian Oxyz 📐

Trắc nghiệm Nhiều lựa chọn

Mức độ Cơ bản

1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P): 2x - y + 3z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

💡 Xem đáp án
Đáp án B. VTPT của mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ là $\vec{n}=(A,B,C)$.

2. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(1, 2, 3)$ và có VTCP $\vec{u}=(4, -5, 6)$ là:

💡 Xem đáp án
Đáp án D. Phương trình có dạng $x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$.

Mức độ Nâng cao

3. Cho mặt cầu $(S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$ và mặt phẳng $(P): x+2y+2z-17=0$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $r$ bằng:

💡 Xem đáp án
Đáp án C. Mặt cầu (S) có tâm $I(1,2,3)$ và bán kính $R=3$. Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là $d(I, (P))=\frac{|1(1)+2(2)+2(3)-17|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|1+4+6-17|}{3} = \frac{|-6|}{3}=2$. Bán kính đường tròn giao tuyến được tính bằng công thức $r = \sqrt{R^2-d^2} = \sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$.

Mức độ Cơ bản

4. Mặt phẳng $(P): x - 3z + 1 = 0$ song song với trục Oy.

💡 Xem đáp án
Đáp án: Đúng. Phương trình khuyết y (hệ số của y bằng 0) nên mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy. Vì điểm $O(0,0,0)$ không thuộc (P) (do $1 \neq 0$), nên (P) song song với Oy.

5. Phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+14=0$ là phương trình của một mặt cầu.

💡 Xem đáp án
Đáp án: Sai. Điều kiện để là mặt cầu: $a^2+b^2+c^2-d>0$. Ở đây $a=-1, b=2, c=-3, d=14$. Ta có $(-1)^2+2^2+(-3)^2-14 = 1+4+9-14=0$. Vì điều kiện không thỏa, đây là một điểm, không phải mặt cầu.

Mức độ Nâng cao

6. Hai đường thẳng $d_1: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}$ và $d_2: \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z-3}{-2}$ chéo nhau.

💡 Xem đáp án
Đáp án: Đúng. Ta có VTCP $\vec{u_1}=(2,-1,1)$, $\vec{u_2}=(-1,2,-2)$. Điểm $M_1(0,1,0) \in d_1$, $M_2(2,0,3) \in d_2 \implies \vec{M_1M_2}=(2,-1,3)$. Tích có hướng $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (0, 3, 3)$. Tích hỗn hợp $[\vec{u_1}, \vec{u_2}]\cdot \vec{M_1M_2} = 0(2)+3(-1)+3(3) = 6 \neq 0$. Vậy chúng chéo nhau.

Mức độ Vận dụng

7. Tính khoảng cách từ điểm $M(2, 0, 1)$ đến đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$. (Kết quả làm tròn 2 chữ số thập phân)

Mức độ Nâng cao

8. Cho mặt phẳng $(P): 2x - 2y - z - 4 = 0$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$. Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm trên mặt cầu đến mặt phẳng là bao nhiêu?