Một đường thẳng trong vũ trụ Oxyz chính là một "Siêu Xa Lộ" thẳng tắp, dài vô tận. Để vẽ bản đồ cho nó, bạn chỉ cần 2 thứ: một "Cổng Dịch Chuyển" mà nó đi qua, và "La Bàn Vũ Trụ" chỉ hướng cho nó.
Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ chính là "la bàn" của xa lộ $d$. Nó luôn chỉ đúng hướng mà xa lộ đang đi tới.
Đây là công thức cho bạn biết tọa độ $(x, y, z)$ của phi thuyền tại mọi thời điểm $t$ sau khi xuất phát từ Cổng Dịch Chuyển $M_0(x_0, y_0, z_0)$ theo hướng la bàn $\vec{u}=(a, b, c)$:
$$ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (\text{với } t \text{ là thời gian bay}) $$Nếu la bàn không chỉ theo các hướng đặc biệt (a, b, c đều khác 0), ta có thể dựng một tấm biển chỉ dẫn gọn gàng hơn:
$$ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $$Trong không gian 3D, có 4 kịch bản "va chạm" giữa hai xa lộ $d_1$ và $d_2$:
Xét xa lộ $d$ (la bàn $\vec{u}$) và lá chắn $(P)$ (đũa thần $\vec{n}$):
Nhiệm vụ 1: Vạch ra lộ trình $d$ đi qua Cổng Dịch Chuyển $A(1; 2; -3)$ theo hướng la bàn $\vec{u}=(2; -1; 4)$.
Thực hiện:
Nhật ký hành trình (tham số): $$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -3 + 4t \end{cases} $$
Tấm biển chỉ dẫn (chính tắc): $$ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 3}{4} $$
Nhiệm vụ 2: Tạo siêu xa lộ $\Delta$ nối liền hai trạm không gian $M(2; 1; 0)$ và $N(0; 1; 3)$.
Thực hiện:
La bàn vũ trụ chính là hướng từ M đến N: $\vec{MN} = (-2; 0; 3)$.
Chọn M làm Cổng Dịch Chuyển, ta có nhật ký hành trình: $$ \begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = 1 \\ z = 3t \end{cases} $$
1. Dựng Biển Báo trên Xa Lộ "Bất Ổn":
Khi một chỉ số của la bàn bằng 0 (ví dụ $\vec{u}=(2, 0, 3)$), nghĩa là xa lộ đó song song với một mặt phẳng tọa độ. Bạn không thể dựng "Tấm Biển Chỉ Dẫn" dạng $\frac{y-y_0}{0}$. Hệ thống sẽ báo lỗi!
2. Nhầm "La Bàn" (VTCP) với "Đũa Thần" (VTPT):
La bàn dùng cho đường, Đũa thần dùng cho mặt. Lắp nhầm la bàn vào lá chắn sẽ gây ra thảm họa điều hướng, khiến lá chắn của bạn trở thành một con đường và ngược lại!
3. Thấy Song Song, Tưởng Là Song Song:
Hai phi thuyền có cùng hướng bay không có nghĩa là chúng đang trên hai xa lộ song song. Phải kiểm tra xem Cổng Dịch Chuyển của xa lộ này có nằm trên xa lộ kia không. Nếu có, chúng đang "chen chúc" trên cùng một xa lộ đấy!
Bài 1: Lập một tuyến đường bay $d$ từ trạm $M(1; -2; 3)$ và song song với tuyến $\Delta$ có sẵn.
Xa lộ $\Delta$ có la bàn là $\vec{u_\Delta} = (3; 1; -2)$.
Vì $d$ song song với $\Delta$, nó xài chung la bàn $\vec{u_d} = (3; 1; -2)$.
Tuyến đường $d$ xuất phát từ $M(1; -2; 3)$ với la bàn $\vec{u_d}$ sẽ có biển chỉ dẫn: $$ \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{-2} $$
Bài 1: Tìm đường bay ngắn nhất $d$ từ trạm $A(1; 0; 2)$ đến siêu xa lộ $\Delta$ và phải vuông góc với nó.
Đường bay ngắn nhất chính là đường vuông góc. Gọi $H$ là điểm đáp trên $\Delta$. $H$ có tọa độ theo nhật ký của $\Delta$: $H(1+2t, t, -2-t)$.
Vector chỉ đường từ A đến H là $\vec{AH} = (2t, t, -4-t)$.
La bàn của $\Delta$ là $\vec{u_\Delta} = (2, 1, -1)$.
Vì $AH \perp \Delta$, nên $\vec{AH} \cdot \vec{u_\Delta} = 0 \iff 2(2t) + 1(t) - 1(-4-t) = 0 \iff 6t + 4 = 0 \iff t = -\frac{2}{3}$.
Tìm được $t$, ta có la bàn của đường bay cần tìm là $\vec{AH} = (-\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{10}{3})$. Ta có thể chọn la bàn "đẹp" hơn là $(2, 1, 5)$.
Đường bay $d$ đi qua $A(1; 0; 2)$ với la bàn $(2, 1, 5)$ là: $$ \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{5} $$