Biết trước một sự kiện, liệu bạn có đoán được tương lai? Cùng thử sức nhé!
Ký hiệu \(P(A|B)\) có ý nghĩa là gì?
Đáp án đúng là C.
Giải thích: Dấu gạch đứng `|` trong xác suất được đọc là "với điều kiện là" hoặc "biết rằng". Vì vậy, \(P(A|B)\) chính là xác suất của A *khi đã biết* B là sự thật. Giống như việc tính xác suất trời mưa, biết rằng trời đang đầy mây đen vậy đó!
Biết rằng xác suất cả hai sự kiện A và B cùng xảy ra là 0.2, và xác suất B xảy ra là 0.5. Vậy \(P(A|B)\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là B.
Giải thích: Ta chỉ cần áp dụng công thức "thần thánh": \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Thay số vào: \(P(A|B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4\). Quá đơn giản phải không nào?
Có 2 hộp bi. Hộp I có 3 bi xanh và 7 bi đỏ. Hộp II có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi. Biết rằng bi lấy ra là bi xanh, tính xác suất bi đó thuộc Hộp I.
Đáp án đúng là B.
Giải thích: Đây là lúc sơ đồ cây tỏa sáng!
Gọi H1 là biến cố chọn Hộp I, H2 là chọn Hộp II. \(P(H1)=P(H2)=0.5\).
Gọi X là biến cố lấy được bi xanh.
Ta có: \(P(X|H1) = 3/10 = 0.3\) và \(P(X|H2) = 6/10 = 0.6\).
Xác suất lấy được bi xanh (Công thức xác suất toàn phần):
\(P(X) = P(H1)P(X|H1) + P(H2)P(X|H2) = 0.5 \times 0.3 + 0.5 \times 0.6 = 0.15 + 0.3 = 0.45\).
Xác suất cần tìm là \(P(H1|X)\) (Công thức Bayes):
\(P(H1|X) = \frac{P(H1 \cap X)}{P(X)} = \frac{P(H1)P(X|H1)}{P(X)} = \frac{0.15}{0.45} = \frac{1}{3}\).
Trong một lớp, 30% học sinh giỏi Toán, 25% giỏi Văn, và 10% giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Nếu biết học sinh này giỏi Toán, xác suất học sinh đó cũng giỏi Văn là bao nhiêu?
Đáp án đúng là B.
Giải thích:
Gọi T là biến cố học sinh giỏi Toán, V là biến cố học sinh giỏi Văn.
Ta có: \(P(T) = 0.3\), \(P(V) = 0.25\), \(P(T \cap V) = 0.1\).
Câu hỏi yêu cầu tính xác suất giỏi Văn, *biết rằng* đã giỏi Toán. Tức là ta cần tính \(P(V|T)\).
Áp dụng công thức: \(P(V|T) = \frac{P(T \cap V)}{P(T)} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}\).
Nói cách khác, trong số các học sinh giỏi Toán, có 1/3 em cũng giỏi Văn.
Trong mọi trường hợp, \(P(A|B)\) luôn bằng \(P(B|A)\).
Đáp án là Sai.
Giải thích: Đây là một lỗi sai kinh điển! \(P(A|B)\) và \(P(B|A)\) là hai thứ hoàn toàn khác nhau.
Ví dụ: A là "bị sét đánh", B là "đang ở ngoài trời khi có giông".
\(P(A|B)\) (xác suất bị sét đánh, biết là đang ở ngoài trời) có thể nhỏ nhưng có thật.
\(P(B|A)\) (xác suất đang ở ngoài trời, biết là đã bị sét đánh) gần như bằng 1!
Chúng không hề bằng nhau.
Nếu A và B là hai sự kiện độc lập và \(P(B) > 0\), thì \(P(A|B) = P(A)\).
Đáp án là Đúng.
Giải thích: Đây chính là định nghĩa của sự kiện độc lập! "Độc lập" có nghĩa là việc B có xảy ra hay không chẳng ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra của A. Do đó, biết B đã xảy ra cũng không làm thay đổi xác suất của A.
Chứng minh: Nếu A, B độc lập thì \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\). Suy ra \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)\).
Nếu \(P(A|B) = 1\), điều đó có nghĩa là nếu sự kiện B xảy ra thì sự kiện A chắc chắn sẽ xảy ra.
Đáp án là Đúng.
Giải thích: Xác suất bằng 1 thể hiện sự chắc chắn. \(P(A|B) = 1\) có nghĩa là "xác suất A xảy ra, khi biết B đã xảy ra, là 100%". Điều này tương đương với việc tập hợp các kết quả thuận lợi cho B là một tập con của tập hợp các kết quả thuận lợi cho A.
Xác suất có điều kiện \(P(A|B)\) không bao giờ có thể lớn hơn xác suất \(P(A)\).
Đáp án là Sai.
Giải thích: Việc biết B đã xảy ra hoàn toàn có thể làm tăng khả năng xảy ra của A.
Ví dụ: A là "thi đỗ đại học", B là "ôn thi chăm chỉ".
Rõ ràng \(P(A|B)\) (xác suất đỗ đại học, biết rằng đã ôn thi chăm chỉ) sẽ lớn hơn \(P(A)\) (xác suất đỗ đại học nói chung, tính cả những người không ôn).
Thông tin có được từ B đã làm xác suất của A tăng lên.
Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài 52 lá. Biết rằng lá bài rút ra là một lá màu đỏ, xác suất để nó là lá Át (A) là bao nhiêu?
Đáp án là 0.077.
Giải thích:
Gọi A là biến cố rút được lá Át, R là biến cố rút được lá màu đỏ.
Ta cần tính \(P(A|R)\).
Không gian mẫu mới khi biết lá bài màu đỏ là 26 lá (13 cơ, 13 rô).
Trong 26 lá đỏ này, có 2 lá Át (Át cơ, Át rô).
Vậy xác suất là \(P(A|R) = 2/26 \approx 0.077\).
Xác suất một người đi làm muộn vào ngày mưa là 0.3. Xác suất ngày mai trời mưa là 0.6. Vậy xác suất ngày mai trời mưa VÀ người đó đi làm muộn là bao nhiêu?
Đáp án là 0.18.
Giải thích:
Gọi M là biến cố "đi làm muộn", R là biến cố "trời mưa".
Ta có: \(P(M|R) = 0.3\) và \(P(R) = 0.6\).
Ta cần tính \(P(M \cap R)\).
Áp dụng công thức nhân: \(P(M \cap R) = P(M|R) \times P(R) = 0.3 \times 0.6 = 0.18\).
Một loại bệnh hiếm có tỉ lệ 1% trong dân số. Một xét nghiệm chẩn đoán bệnh này có độ chính xác 95% (tức là, nếu có bệnh thì 95% xét nghiệm dương tính, và nếu không bệnh thì 95% xét nghiệm âm tính). Một người xét nghiệm và có kết quả dương tính. Xác suất người đó thật sự có bệnh là bao nhiêu?
Đáp án là 0.161.
Giải thích:
Gọi B là "có bệnh", KB là "không bệnh", DT là "dương tính".
Ta có: \(P(B)=0.01 \Rightarrow P(KB)=0.99\).
\(P(DT|B)=0.95\) (độ nhạy).
\(P(Âm tính|KB)=0.95 \Rightarrow P(DT|KB) = 1-0.95 = 0.05\) (dương tính giả).
Xác suất có kết quả dương tính:
\(P(DT) = P(B)P(DT|B) + P(KB)P(DT|KB) = 0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.05 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059\).
Xác suất cần tìm \(P(B|DT) = \frac{P(B \cap DT)}{P(DT)} = \frac{P(B)P(DT|B)}{P(DT)} = \frac{0.0095}{0.059} \approx 0.161\).
Đáng ngạc nhiên phải không? Dù xét nghiệm dương tính, khả năng có bệnh thật chỉ là 16.1%!
Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết rằng mặt gieo được là một số chẵn, xác suất để mặt đó là số 2 là bao nhiêu?
Đáp án là 0.333.
Giải thích:
Gọi A là biến cố "mặt gieo được là số 2".
Gọi B là biến cố "mặt gieo được là số chẵn".
Ta cần tính \(P(A|B)\).
Khi biết mặt gieo được là số chẵn, không gian mẫu của chúng ta bị thu hẹp lại chỉ còn {2, 4, 6}. Có 3 kết quả có thể xảy ra.
Trong 3 kết quả này, chỉ có một kết quả thuận lợi cho A (là số 2).
Vậy xác suất là \(P(A|B) = 1/3 \approx 0.333\).