Xác suất thông thường là khi bạn "đoán mò" tương lai. Còn Xác suất có điều kiện là khi bạn nhận được một "manh mối" hay "lời sấm truyền" (biến cố B đã xảy ra), và bạn cập nhật lại lời tiên tri của mình về biến cố A.
Câu hỏi không còn là "Liệu A có xảy ra?", mà là "Biết chắc B đã xảy ra rồi, vậy khả năng A xảy ra bây giờ là bao nhiêu?". Ký hiệu là $P(A|B)$, đọc là "Xác suất của A, khi đã có B".
Công thức giải mã manh mối:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$Dịch nôm na: Khả năng A xảy ra (khi có manh mối B) bằng khả năng "cả A và manh mối B cùng xuất hiện", chia cho khả năng "manh mối B xuất hiện" ngay từ đầu.
Từ phép thuật trên, ta có thể tiên tri các sự kiện xảy ra nối tiếp nhau:
$$ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) $$Sơ đồ cây là công cụ tối thượng để vẽ ra mọi "nhánh tương lai" có thể xảy ra, đặc biệt hữu dụng khi các sự kiện xảy ra theo từng giai đoạn.
Sấm truyền 1: Gieo một con súc sắc. "Ta ban cho ngươi manh mối: Mặt súc sắc chia hết cho 3". Hãy tiên tri khả năng mặt đó là số lẻ.
Giải mã:
Gọi A = "mặt là số lẻ" = $\{1, 3, 5\}$.
Manh mối B = "mặt chia hết cho 3" = $\{3, 6\}$. Khả năng có manh mối này là $P(B) = 2/6 = 1/3$.
"A và manh mối B cùng đúng": $A \cap B = \{3\}$. Khả năng này là $P(A \cap B) = 1/6$.
Lời tiên tri mới: $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2} $. Chính xác 50%!
1. Nhầm lẫn giữa $P(A|B)$ và $P(B|A)$
"Khả năng trời mưa, biết rằng đường ướt" $P(\text{Mưa}|\text{Ướt})$ rất khác với "Khả năng đường ướt, biết rằng trời mưa" $P(\text{Ướt}|\text{Mưa})$. Cái thứ hai gần như chắc chắn, cái đầu tiên thì chưa chắc (có thể do người ta tưới cây). Đừng nhầm lẫn manh mối và kết luận!
2. Coi $P(A|B)$ và $P(A \cap B)$ là một
$P(A \cap B)$ là khả năng "trời vừa mưa vừa có sấm" trong mọi trường hợp. $P(A|B)$ là khả năng "trời có sấm" trong một vũ trụ hẹp hơn, nơi mà bạn biết chắc chắn "trời đang mưa".
Thử thách 1: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá. Manh mối: "Lá bài rút được có màu đỏ". Tiên tri khả năng nó là lá Át.
A = "là lá Át", B = "màu đỏ". Ta cần tính $P(A|B)$.
Trong 52 lá, có 26 lá đỏ. Vậy $P(B) = 26/52 = 1/2$.
Có 2 lá Át màu đỏ (Át Cơ, Át Rô). Vậy $P(A \cap B) = 2/52 = 1/26$.
Lời tiên tri: $P(A|B) = \frac{1/26}{1/2} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$.
Bài 1: Một cặp vợ chồng có 2 con.
a) Tiên tri khả năng họ có 2 con gái.
b) Manh mối: "Họ có ít nhất một cô con gái". Tiên tri lại khả năng họ có 2 con gái.
c) Manh mối khác: "Con đầu lòng của họ là con gái". Tiên tri lại khả năng họ có 2 con gái.
Các tương lai có thể: $\Omega = \{GG, GT, TG, TT\}$.
a) A = "có 2 con gái" = $\{GG\}$. $P(A) = 1/4$.
b) Manh mối B = "ít nhất 1 gái" = $\{GG, GT, TG\}$. $P(B)=3/4$. $A \cap B = \{GG\}$.
Tiên tri mới: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$.
c) Manh mối C = "con đầu là gái" = $\{GG, GT\}$. $P(C)=2/4=1/2$. $A \cap C = \{GG\}$.
Tiên tri mới: $P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{1/4}{1/2} = 1/2$.