Cùng khám phá các bài toán tìm min-max trong thế giới thực siêu thú vị!
🏆 Thành Tích Của Bạn: 0/8 câu đúng 🏆
Câu 1: Một cửa hàng bán kem, họ nhận thấy rằng lợi nhuận hàng ngày (tính bằng nghìn đồng) được mô tả bởi hàm số \( P(x) = -x^2 + 80x - 1200 \), trong đó \( x \) là số ly kem bán được. Để có lợi nhuận tối đa, cửa hàng nên bán bao nhiêu ly kem mỗi ngày?
Đáp án đúng là B.
Đây là một parabol có bề lõm quay xuống dưới (vì hệ số của \( x^2 \) là -1 < 0), nên nó sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Hoành độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được tính bằng công thức: \( x = -\frac{b}{2a} \).
Áp dụng vào hàm số \( P(x) = -x^2 + 80x - 1200 \), ta có a = -1, b = 80. Vậy số ly kem để lợi nhuận tối đa là: \( x = -\frac{80}{2 \cdot (-1)} = 40 \) ly. Quá đơn giản!
Câu 2: Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour. Chi phí cho mỗi người là 2 triệu đồng nếu có đúng 40 người tham gia. Tuy nhiên, nếu có nhiều hơn 40 người đăng ký, công ty sẽ giảm 20 nghìn đồng cho mỗi người tham gia thêm. Số lượng người tham gia tối đa là 80. Hỏi công ty phải có bao nhiêu người tham gia để doanh thu đạt mức cao nhất?
Đáp án đúng là C.
Gọi \( x \) là số người tham gia thêm so với 40 người (với \( 0 \le x \le 40 \)).
Tổng số người tham gia là: \( 40 + x \).
Giá tour cho mỗi người là: \( 2000 - 20x \) (nghìn đồng).
Doanh thu của công ty là: \( R(x) = (40 + x)(2000 - 20x) = -20x^2 + 1200x + 80000 \).
Đây lại là một parabol úp ngược! Doanh thu lớn nhất khi \( x = -\frac{1200}{2 \cdot (-20)} = 30 \).
Vậy, số người tham gia để doanh thu cao nhất là: \( 40 + 30 = 70 \) người. Căng đét!
Câu 3: Một quả bóng được ném lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu \( v_0 = 20 \) m/s theo phương thẳng đứng. Độ cao \( h \) (mét) của quả bóng so với mặt đất sau \( t \) giây được cho bởi công thức \( h(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 \), với \( g \approx 9.8 \) m/s\(^2\) là gia tốc trọng trường. Tại thời điểm nào thì quả bóng bắt đầu rơi xuống?
Đáp án đúng là A.
Quả bóng bắt đầu rơi xuống ngay sau khi nó đạt đến độ cao cực đại.
Hàm độ cao là \( h(t) = 20t - 4.9t^2 \). Đây là một hàm bậc hai với a = -4.9 < 0, nên nó có giá trị lớn nhất.
Thời gian để đạt độ cao cực đại là: \( t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-4.9)} \approx 2.04 \) giây.
Độ cao cực đại lúc đó là: \( h(2.04) = 20(2.04) - 4.9(2.04)^2 \approx 40.8 - 20.4 = 20.4 \) mét.
Vậy, quả bóng bắt đầu rơi xuống ngay sau khi đạt độ cao khoảng 20.4m. Bạn quả là thiên tài vật lý!
Câu 4: Nhiệt độ (độ C) của một bệnh nhân sau khi uống thuốc được mô tả bởi hàm số \( T(t) = 38.5 + \frac{4}{t+1} \), với \( t \) là thời gian tính bằng giờ (\( t \ge 0 \)). Nhận định sau đúng hay sai: "Sau khi uống thuốc, nhiệt độ của bệnh nhân sẽ luôn giảm dần và không bao giờ xuống dưới 38.5 độ C."
Đáp án đúng là ✅ Đúng.
Khi \( t \) tăng, mẫu số \( t+1 \) tăng. Do đó, phân số \( \frac{4}{t+1} \) sẽ giảm.
Vì vậy, nhiệt độ \( T(t) = 38.5 + \text{(một số dương giảm dần)} \) sẽ luôn giảm dần.
Khi \( t \to \infty \), thì \( \frac{4}{t+1} \to 0 \). Do đó, \( T(t) \to 38.5 \). Nhiệt độ sẽ tiến dần về 38.5 nhưng không bao giờ thấp hơn. Nhận định này hoàn toàn chuẩn!
Câu 5: Một trang trại nuôi cá nhận thấy rằng khối lượng trung bình của một con cá trong hồ sau \( t \) tháng được tính bởi công thức \( W(t) = 500 + 30t - t^2 \) (gram), với \( 0 \le t \le 20 \). Nhận định sau đúng hay sai: "Để bắt được lứa cá có khối lượng trung bình lớn nhất, người nông dân nên đợi đến tháng thứ 20."
Đáp án đúng là ❌ Sai.
Hàm khối lượng \( W(t) = -t^2 + 30t + 500 \) là một parabol úp ngược. Khối lượng sẽ đạt cực đại tại đỉnh.
Thời điểm để khối lượng lớn nhất là: \( t = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2 \cdot (-1)} = 15 \) tháng.
Sau 15 tháng, khối lượng trung bình của cá sẽ bắt đầu giảm đi (do các yếu tố như cạnh tranh thức ăn, môi trường...). Chờ đến tháng 20 là "toang" rồi!
Câu 6: Một người nông dân có 100 mét hàng rào và muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau. Để diện tích mảnh đất là lớn nhất, thì chiều dài của mảnh đất đó phải là bao nhiêu mét?
Đáp án đúng là 25.
Gọi chiều dài là \( l \) và chiều rộng là \( w \). Chu vi là \( 2(l+w) = 100 \Rightarrow l+w=50 \Rightarrow w=50-l \).
Diện tích \( S = l \cdot w = l(50-l) = -l^2 + 50l \).
Để diện tích lớn nhất, mảnh đất phải là hình vuông, tức là chiều dài bằng chiều rộng.
Vậy \( l = w = \frac{50}{2} = 25 \) mét. Tadaa!
Câu 7: Chi phí sản xuất \( x \) sản phẩm được cho bởi hàm số \( C(x) = x^2 - 10x + 500 \) (đơn vị: triệu đồng). Chi phí sản xuất sẽ ở mức thấp nhất khi sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Đáp án đúng là 5.
Hàm chi phí \( C(x) = x^2 - 10x + 500 \) là một parabol có bề lõm quay lên trên (hệ số \( x^2 \) là 1 > 0), nên nó sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.
Hoành độ đỉnh (số sản phẩm) là: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5 \).
Vậy để chi phí thấp nhất, cần sản xuất 5 sản phẩm. Đơn giản như đang giỡn!
Câu 8: Một quán cà phê hiện đang bán 100 ly cappuccino mỗi ngày với giá 30.000 đồng/ly. Chủ quán khảo sát và thấy rằng, cứ tăng giá thêm 1.000 đồng/ly thì sẽ bán ít đi 2 ly mỗi ngày. Để doanh thu từ cappuccino là lớn nhất, chủ quán nên bán với giá bao nhiêu đồng?
Đáp án đúng là 40000.
Gọi \( x \) là số lần tăng giá 1.000 đồng.
Khi đó, giá bán mới của một ly cà phê là: \( P(x) = 30000 + 1000x \).
Số ly bán được mỗi ngày là: \( Q(x) = 100 - 2x \).
Doanh thu hàng ngày là \( R(x) = P(x) \cdot Q(x) = (30000 + 1000x)(100 - 2x) \).
Nhân tung tóe ra, ta được: \( R(x) = 3000000 - 60000x + 100000x - 2000x^2 \)
\( R(x) = -2000x^2 + 40000x + 3000000 \)
Lại là một parabol úp ngược! Doanh thu sẽ lớn nhất tại đỉnh, khi \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40000}{2 \cdot (-2000)} = -\frac{40000}{-4000} = 10 \).
Điều này có nghĩa là chủ quán nên tăng giá 10 lần, mỗi lần 1.000 đồng.
Vậy, giá bán tối ưu là: \( 30000 + 10 \cdot 1000 = 40000 \) đồng. Một chiến lược giá đỉnh chóp!